Question

2．如图甲所示，平行板M、N关于x轴对称，右端刚好位于y轴上，两平行板长为2L，板间距离为L，两板间加如图乙所示的正弦交流电，在y轴右侧有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，在平行板左端，位于x轴上的A点有一粒子源，沿x轴正向不断发射质量为m、带电荷量为+q的、速度大小相同的粒子，这些粒子刚好都能进入磁场，经磁场偏转后刚好不能再次进入板间电场，粒子穿过两板间所用的时间远小于T，图中U_m为已知量，不计粒子的重力．求：

（1）匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）粒子打在y轴上的范围．

Answer 1

分析 （1）粒子在有电压时在板间是做类平抛运动，在磁场中匀速圆周运动，求出进出磁场位置之间的距离，无电压时匀速通过后进入磁场，求出进出磁场位置间的距离，发现与电压无关，结合题意，所有粒子不再进入板间电场，分析临界轨迹即恰好从边缘飞出的粒子，由类平抛运动求出粒子初速度，结合进出磁场位置间距离可以求出B的大小．
（2）画出轨迹，分析临界轨迹得到电子打在y轴上的范围．

解答 解：（1）板间电压为0时，粒子匀速通过MN，到O沿x轴正方向进入磁场做匀速圆周运动，设初速度为${v}_{0}^{\;}$，进入磁场后运动半周
洛伦兹力提供向心力$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得$R=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
粒子打在y轴上的位置距O点距离$△l=2R=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
极板间加上电压时u时，粒子通过两极板做类平抛运动，水平方向匀速直线运动，竖直方向匀加速直线运动，设射出磁场时速度与水平方向的夹角θ，进磁场时速度为v，
由几何关系$vcosθ={v}_{0}^{\;}$
半径$R′=\frac{mv}{qB}$
进出磁场位置间的距离$△l′=2R′cosθ=2\frac{mv}{qB}cosθ=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
当粒子粒子进入时电压最大时，刚好从板的边缘进入磁场，在电场中做类平抛运动
水平方向：$2L={v}_{0}^{\;}t$
粒子加速度qE=ma
$E=\frac{{U}_{m}^{\;}}{L}$
竖直方向：$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
联立以上几式得${v}_{0}^{\;}=\sqrt{\frac{4q{U}_{m}^{\;}}{m}}$
因为经磁场偏转后刚好不能再次进入板间电场，所以$△l=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qB}=L$
解得$B=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{qL}=4\sqrt{\frac{m{U}_{m}^{\;}}{q{L}_{\;}^{2}}}$
（2）作出临界轨迹图如图，由下板边缘M进入磁场的粒子恰好打在上板边缘N点，无电压时射入的粒子刚好打在Q点，由上极板边缘N进入磁场的粒子刚好打在Q点
$P（0，\frac{3L}{2}）$，Q（0，L），$N（0，\frac{L}{2}）$
在板间向上偏转的粒子打在y轴上PQ之间，在板间向下偏转的粒子打在y轴上QN之间，所以粒子打在y轴上的范围为PN区域，总长度为L，范围为$\frac{L}{2}≤y≤\frac{3L}{2}$
答：（1）匀强磁场的磁感应强度大小$4\sqrt{\frac{m{U}_{m}^{\;}}{q{L}_{\;}^{2}}}$；
（2）粒子打在y轴上的范围$\frac{L}{2}≤y≤\frac{3L}{2}$．

点评 本题是带电粒子在交变电场和匀强磁场中运动的问题，在电场中仍然利用类平抛的规律，在磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，本题关键是画出临界轨迹，结合数学知识求解．第一问可以得出结论：离开偏转电场的粒子进、出磁场的位置之间的距离与偏转电压无关．