题目内容

14．如图所示，长木板质量为M=8kg，在长木板右端施加F=38N水平向右的恒力，当长木板向右速度达到v1=7m/s（图中未画出）时在其右端有一质量为m=2kg小木块（可视为质点）以初速度v0=2m/s向左滑上木板的右端．小木块与木板动摩擦因数为μ1=0.2，木板与地面间的动摩擦因数为μ2=0.3．设小木块与长木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小木块始终没滑离长木板，取重力加速度g=10m/s2．求：
（1）从小木块向左滑上木板的右端开始计时，经过多长时间小木块与长木板相对静止．
（2）为使小木块不滑离木板，木板的长度l至少要多长？
（3）若小木块与长木板相对静止时，撤去拉力F，小木块最终与木板右端的距离s．

分析 （1）小木块滑上长木板后先向左做匀减速直线运动，速度减至零后向右做匀加速直线运动，在整个过程中加速度不变，当木块与长木板速度相等时，两者保持相对静止．根据牛顿第二定律求木块的加速度，再由匀变速直线运动的速度公式求出经历的时间．
（2）小木块放上木板后，在保持相对静止时间内的位移与木板的位移之差等于小木块的相对位移，即为长木板最小的长度．
（3）先求得小木块与长木板相对静止时的速度，再由牛顿第二定律和运动学公式求出两者相对于地面滑行的距离，从而求得小木块最终与木板右端的距离s．

解答 解：（1）小木块的加速度大小为 a1=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ1g=0.2×10=2m/s2，水平向右
长木板的加速度为：a2=$\frac{F-{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（M+m）g}{M}$
代入数据解得 a2=0.5 m/s2 水平向右
令刚相对静止时他们的共同速度为v，以木板运动的方向为正方向
对小物块有：v=-v0+a1t
对木板有：v=v1+a2t
解得：t=6s；v=10m/s
故经过6s小木块与长木板保持相对静止．
（2）此过程中小木块的位移为：
  x1=$\frac{-{v}_{0}+v}{2}$t=$\frac{-2+10}{2}$×6=24m
长木板的位移为：x2=$\frac{{v}_{1}+v}{2}$t=$\frac{7+10}{2}$×6=51m
所以长木板的长度至少为：L=x1-x2=51-24=27m．
（3）小木块与长木板相对静止时，撤去拉力F，小木块的加速度大小仍为 a1=2m/s2，方向向左
共速至停止运动时木块对地位移 x3=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$=$\frac{1{0}^{2}}{2×2}$=25m
长木板的加速度为：a3=$\frac{{μ}_{2}（M+m）g-{μ}_{1}mg}{M}$
代入数据解得 a3=$\frac{13}{4}$m/s2 水平向左
共速至停止运动时长木板对地位移 x4=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{4}}$=$\frac{1{0}^{2}}{2×\frac{13}{4}}$m=$\frac{200}{13}$m≈15.38m
所以小木块最终与木板右端的距离 s=L-（x3-x4）=17.38m
答：
（1）从小木块向左滑上木板的右端开始计时，经过6s时间小木块与长木板相对静止．
（2）为使小木块不滑离木板，木板的长度l至少要27m．
（3）若小木块与长木板相对静止时，撤去拉力F，小木块最终与木板右端的距离s是17.38m．

点评 解决本题的关键知道小木块滑上长木板后先做匀减速直线运动，然后做匀加速直线运动．共速后两者以不同的加速度匀减速运动，要知道长木板的至少长度等于木块的位移和木板的位移之差．

练习册系列答案
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C．P2：P1=2：1，Q2：Q1=1：1D．P2：P1=4：1，Q2：Q1=1：1

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