Question

14．在玻璃毛细管内盛有液体，如图所示，液体的折射率n比玻璃的折射率n₀小．问当毛细管的内半径r与外半径R之间关系如何时，射在毛细管外表面上的任何一条光线，可以部分地透进液体中？

Answer 1

分析 根据光路的特点可知，恰好能进入玻璃的光线射到玻璃与液体的界面上的入射角最大，由于液体的折射率n比玻璃的折射率n₀小，所以若光线有一部分能进入液体，则入射角不能大于等于临界角，即光线不能发生全反射，然后结合几何关系即可求出．

解答 解：设有一束平行光射入玻璃，做出其光路图如图，由图可知，恰好能进入玻璃的光线射到玻璃与液体的界面上的入射角最大，若该光线部分能进入液体中，则所有的光线都能部分进入液体．

设恰好能进入玻璃的光线的折射角为β，则：${n}_{0}=\frac{sin90°}{sinβ}$
所以：$sinβ=\frac{1}{{n}_{0}}$
光线恰好在玻璃与液体的界面上的Q点能进入液体，则此时的入射角恰好等于临界角C，所以：sinC=$\frac{1}{n}$
在△OPQ中，由正弦定理得：$\frac{r}{sinβ}=\frac{R}{sinC}$
所以：$\frac{r}{R}=\frac{sinβ}{sinC}=\frac{\frac{1}{{n}_{0}}}{\frac{1}{n}}=\frac{n}{{n}_{0}}$
可知，若射在毛细管外表面上的任何一条光线，可以部分地透进液体中，则毛细管的内半径r与外半径R之间需满足关系：$\frac{r}{R}＞\frac{n}{{n}_{0}}$
答：毛细管的内半径r与外半径R之间需满足关系$\frac{r}{R}＞\frac{n}{{n}_{0}}$．

点评 该题考查光的折射定律与光的全反射现象，解答的关键是找出光线恰好在玻璃与液体的界面上的Q点能进入液体的条件，然后再运用几何知识来解题．