Question

12．如图所示，在xOy坐标系中，第一象限有水平向右的匀强电场E₁，在第四象限中，以O为圆心，半径分别为b与2b得两圆弧之间区域内有匀强磁场B，方向垂直xOy平面向里，第四象限还有方向竖直向下的匀强电场E₂，一质量为m，电荷量大小为q的微粒，从（0，b）点处垂直y轴射入第一象限，除b，m，q，重力加速度g已知外，其他物理量的大小未知．
（1）如果带电微粒能垂直x轴进入磁场，求E₁得最大值与最小值；
（2）如图带电微粒从（b，0）点垂直x轴进入磁场，并在磁场中做匀速圆周运动，最后从y轴上的[-2b，-b]区间的某位置射出磁场，求E₂的电场强度大小及磁场B的磁感应强度大小的取值范围．

Answer 1

分析 （1）带电微粒在第一象限受到重力和电场力的作用，如果带电微粒能垂直x轴进入磁场，说明微粒带负电，水平方向微粒做匀减速直线运动，竖直方向做自由落体运动，将运动分解，即可求出E₁得最大值与最小值；
（2）微粒在磁场中做匀速圆周运动，说明电场力与重力大小相等，方向相反，据此求出电场强度，画出可能的轨迹，结合几何关系求出半径，由半径公式求出磁感应强度．

解答 解：（1）带电微粒在第一象限受到重力和电场力的作用，如果带电微粒能垂直x轴进入磁场，说明微粒带负电，水平方向微粒做匀减速直线运动，电场强度越大，微粒减速的时间越短，从b点经过x轴的时间最短，E₁最大；从2b点经过x轴的时间最长，E₁最小．
竖直方向：$b=\frac{1}{2}g{t}^{2}$ 
所以：t=$\sqrt{\frac{2b}{g}}$…①
水平方向是，末速度为0的匀减速直线运动，其逆过程是初速度为0的匀加速直线运动，
若到达b点，则：$b=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$…②
又：${a}_{1}=\frac{q•{E}_{1min}}{m}$…③
联立①②③得：${E}_{1min}=\frac{mg}{q}$
若到达2b点，则：$2b=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$…④
又：${a}_{2}=\frac{q{E}_{1max}}{m}$…⑤
联立①④⑤得：${E}_{1max}=\frac{2mg}{q}$
（2）微粒在磁场中做匀速圆周运动，说明电场力与重力大小相等，方向相反，即：
qE₂=mg
所以：${E}_{2}=\frac{mg}{q}$
微粒进入磁场时的速度：$v=gt=g•\sqrt{\frac{2b}{g}}=\sqrt{2gb}$…⑥
微粒在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
即：$B=\frac{mv}{qr}$…⑦
若微粒从y轴上的b点射出磁场，则微粒的半径是b，则：$B=\frac{mv}{qb}=\frac{m\sqrt{2gb}}{qb}$
若粒子处从y轴上的2b点射出磁场，其运动的轨迹如图，得：

由图中几何关系得：R²=（2b）²+（R-b）²
整理得：R=2.5b
此时：$B′=\frac{mv}{2.5qb}=\frac{m•\sqrt{2gb}}{2.5qb}$
磁场B的磁感应强度大小的取值范围：$\frac{m•\sqrt{2gb}}{2.5qb}≤B≤\frac{m•\sqrt{2gb}}{qb}$．
答：（1）如果带电微粒能垂直x轴进入磁场，E₁得最大值与最小值分别为：$\frac{mg}{q}$和$\frac{2mg}{q}$；
（2）E₂的电场强度大小是$\frac{mg}{q}$，磁场B的磁感应强度大小的取值范围是$\frac{m•\sqrt{2gb}}{2.5qb}≤B≤\frac{m•\sqrt{2gb}}{qb}$．

点评 该题考查带电微粒在磁场中的运动，以及带电微粒在复合场中的运动，当微粒做匀速圆周运动时，画出微粒的运动的轨迹，然后根据轨迹中的几何关系求出半径是常规的解题思路．