题目内容
某科学研究完成了下面的两个实验：（1）当飞船停留在距X星球一定高度的P点时正对着X星球发射一个激光脉冲，经过时间t1后收到返回来的信号，此时观察X星球的视角为θ，如图所示．
（2）当飞船在X星球表面着陆后，把一个弹射器固定在星球的表面上，竖直向上弹射一个小球，经测定小球从弹射到落回的时间为t2．已知用上述弹射器在地球上做同样的实验时，小球在空中运动的时间为t，又已知地球表面的重力加速度为g，万有引力常量G，光速为c，地球和X星球的自转以及它们对物体的大气阻力均可不计，试根据以上信息，求：
①X星球的半径R；
②X星球的平均密度ρ
③X星球的第一宇宙速度V；
④在X星球发射的卫星的最小周期T．
【答案】分析：①先计算P点到星球表面的最短距离为
，根据直角三角形的知识可得
，化简即可解得X星球的半径R．
②根据在X星球上以v初速度竖直上抛和在地球上以v初速度竖直上抛时的特点，可计算出该星球的表面重力加速度g．由在星球表面上的物体受到的重力等于万有引力
，解得该星球的质量
，而该星球的体积为V=
，根据密度的定义ρ=
，代入数据计算即可．
③第一宇宙速度就是贴近星球表面飞行时的线速度，根据重力提供向心力
，得
，代入数据化简即可解得v．
④当以第一宇宙速度v运行，卫星有最小周期T，根据公式
化简即可．
解答：解：①飞船停留在距X星球一定高度的P点时正对着X星球发射一个激光脉冲，经过时间t1后收到返回来的信号，则P点到星球表面的最短距离为：
．
根据几何图形，由直角三角形的知识可得
即：
=R
解得：
②根据竖直上抛的特点：
在X星球上以v初速度竖直上抛时，
在地球上以v初速度竖直上抛时，
∴
，
又由在星球表面上的物体受到的重力等于万有引力
所以
，
而该星球的体积为V=
故ρ=
=
=
③第一宇宙速度就是贴近星球表面飞行时的线速度，此时重力等于万有引力，
根据万有引力提供向心力
∴
把R和
的值代入得：
④当以第一宇宙速度v运行，卫星有最小周期T
答：①X星球的半径R为
；
②X星球的平均密度ρ为
③X星球的第一宇宙速度V为
；
④在X星球发射的卫星的最小周期T为
．
点评：重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由万有引力提供．
，根据直角三角形的知识可得，化简即可解得X星球的半径R．②根据在X星球上以v初速度竖直上抛和在地球上以v初速度竖直上抛时的特点，可计算出该星球的表面重力加速度g．由在星球表面上的物体受到的重力等于万有引力
，解得该星球的质量，而该星球的体积为V=，根据密度的定义ρ=，代入数据计算即可．③第一宇宙速度就是贴近星球表面飞行时的线速度，根据重力提供向心力
，得，代入数据化简即可解得v．④当以第一宇宙速度v运行，卫星有最小周期T，根据公式
化简即可．解答：解：①飞船停留在距X星球一定高度的P点时正对着X星球发射一个激光脉冲，经过时间t1后收到返回来的信号，则P点到星球表面的最短距离为：
．根据几何图形，由直角三角形的知识可得
即：
=R解得：
②根据竖直上抛的特点：
在X星球上以v初速度竖直上抛时，
在地球上以v初速度竖直上抛时，
∴
，又由在星球表面上的物体受到的重力等于万有引力
所以
，而该星球的体积为V=
故ρ=
==③第一宇宙速度就是贴近星球表面飞行时的线速度，此时重力等于万有引力，
根据万有引力提供向心力
∴
把R和
的值代入得：④当以第一宇宙速度v运行，卫星有最小周期T
答：①X星球的半径R为
；②X星球的平均密度ρ为
③X星球的第一宇宙速度V为
；④在X星球发射的卫星的最小周期T为
．点评：重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由万有引力提供．
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