Question

20．如图，ABD为竖直平面内的轨道，其中AB段是水平粗糙的、BD段为半径R=0.4m的半圆光滑轨道，两段轨道相切于B点．小球甲从C点以速度υ₀沿水平轨道向右运动，与静止在B点的小球乙发生弹性碰撞．已知甲、乙两球的质量均为m，小球甲与AB段的动摩擦因数为μ=0.5，C、B距离L=1.6m，g取10m/s²．（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点） 
（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；
（2）在满足（1）的条件下，求的甲的速度υ₀；
（3）若甲仍以速度υ₀向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围．

Answer 1

分析 （1）乙恰能通过轨道的最高点D时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得乙通过D点时的速度，再由平抛运动的规律求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；
（2）对于甲乙碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可以知道它们交换速度．对乙从B到D，由动能定理求得碰后瞬间乙的速度．对甲从C到B，由动能定理求得速度υ₀；
（3）根据动量守恒定律和机械能守恒定律得到碰后乙速度的范围，再由平抛运动的规律求得乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围．

解答 解：（1）设乙到达最高点的速度为v_D，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，乙恰能通过轨道最高点，则
  mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$…①
乙做平抛运动过程有：
2R=$\frac{1}{2}$gt²…②
x=v_Dt…③
联立①②③得：x=0.8 m…④
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v_甲、v_乙，取向右为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有
  mv_B=mv_甲+mv_乙 …⑤
  $\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_甲²+$\frac{1}{2}$mv_乙²…⑥
联立⑤⑥得：v_乙=v_B ⑦
对乙从B到D，由动能定理得：-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv_乙²…⑧
联立①⑦⑧得：v_B=2$\sqrt{5}$m/s…⑨
甲从C到B，由动能定理有：-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²⑨
解得：v₀=6m/s
（3）设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为v_M、v_m，取向右为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有：
   Mv_B=Mv_M+mv_m…⑩
  $\frac{1}{2}$Mv_B²=$\frac{1}{2}$Mv_M²+$\frac{1}{2}$mv_m²…（11）
联立得⑩（11）得：v_m=$\frac{2M{v}_{B}}{M+m}$…（12）
由M=m和M≥m，可得 v_B≤v_m＜2v_B …（13）
设乙球过D点时的速度为v_D'，由动能定理得：
-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv′₀²-$\frac{1}{2}$mv_m²…（14）
联立⑨（13）（14）得：2 m/s≤v_D'＜8 m/s …（15）
设乙在水平轨道上的落点距B点的距离为x'，有：x'=v_D't  …（16）
联立②（15）（16）得：0.8 m≤x'＜3.2m…（17）
答：（1）乙在轨道上的首次落点到B点的距离是0.8m；
（2）甲的速度υ₀是6m/s；
（3）乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围是0.8 m≤x'＜3.2m．

点评 解决本题的关键知道弹性碰撞中动量守恒、机械能守恒，理清运动过程，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源，结合动能定理和牛顿第二定律进行求解．