Question

4．如图所示，ABC为竖直平面内的光滑轨道，AB部分水平，BC部分是半径为R的圆弧轨道．小球a、b均静止在水平轨道上，两者相隔一定距离，两小球的质量分别为m_a=2m、m_b=m．现对a施加一水平恒力F使其从静止开始运动，作用时间t后撤去F，之后a与b发生对心弹性正碰，要使碰后两球均能通过圆弧轨道的最高点C，求F至少应为多大？

Answer 1

分析 要使小球通过最高点C，在C点的向心力最小应等于重力，求出最高点的临界速度，再由机械能守恒定律求出在B点的速度，结合弹性碰撞动量守恒和机械能守恒求出碰撞前a球的最小速度，最后由动量定理求F的最小值．

解答 解：对于任意一个小球恰好通过C点时，有 m′g=m′$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得 v_C=$\sqrt{gR}$
小球从最低点B到最高点C的过程，由机械能守恒定律得：2m′gR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，解得 v_B=$\sqrt{5gR}$
设a与b碰撞前a的速度为v₀．取向右为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律得：
   m_av₀=m_av_a+m_bv_b；
  $\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{a}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{b}{v}_{b}^{2}$
又 m_a=2m、m_b=m
联立解得 v_a=$\frac{1}{3}{v}_{0}$，v_b=$\frac{4}{3}{v}_{0}$
所以要使碰后两球均能通过圆弧轨道的最高点C，只要满足条件：v_a=$\frac{1}{3}{v}_{0}$≥$\sqrt{5gR}$，即可．
则v₀的最小值为 v₀=3$\sqrt{5gR}$
对碰撞前a的运动过程，由动量定理得
  Ft=m_av₀；
解得 F的最小值 F=$\frac{6m\sqrt{5gR}}{t}$
答：F至少应为$\frac{6m\sqrt{5gR}}{t}$．

点评 解决本题的关键要把握每个过程和状态的物理规律，明确小球恰好通过最高点的临界条件：重力等于向心力，知道弹性碰撞遵守两大守恒：动量守恒和机械能守恒．