Question

6．如图所示，直角坐标系xOy第Ⅰ象限内存在沿y轴负方向的匀强电场．半径为L的圆形匀强磁场区域在第Ⅱ象限内与x、y轴相切与C、D两点，磁场的磁感应强度为B，方向垂直于xOy平面向外．电荷量为+q，质量为m的粒子a从C点垂直x轴射入磁场，经磁场偏转后恰好从D点进入电场，最后从M点射出电场，在M点时其速度与x轴成60°角．保持磁场方向不变、改变磁感应强度的大小，让另一质量、带电量与a均相同的粒子b也从C点垂直x轴射入磁场，其射入磁场的速率为a射入磁场速率的$\frac{2\sqrt{3}}{3}$倍，射出磁场后进入电场，已知粒子b在电场运动的过程中，离x轴最远时的速率与粒子a在磁场中运动的速率相同，不计粒子重力，求：
（1）匀强电场的电场强度E大小；
（2）粒子b在磁场中运动时磁场的磁感应强度B′及粒子b在磁场中运动的时间t′．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动在电场中做类平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式联立求解；
（2）根据几何关系及洛伦兹力提供向心力求出粒子在磁场中的速率，根据半径公式求出磁感应强度B′，根据周期公式求周期，结合圆心角求时间

解答 解：（1）粒子在磁场中做圆周运动，由几何关系可得其运动的半径为：R=L
洛伦兹力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
粒子在电场中做类平抛运动，有：$tan60°=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$
${v}_{y}^{\;}=at$
$y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
qE=ma
y=L
解得：$E=\frac{3q{B}_{\;}^{2}L}{2m}$
（2）粒子b进入电场后速度先减小，电场力对其做负功，故b进入电场时速度方向与y轴正向的夹角α的范围是：0＜α＜90°：b离x轴最远时速度与x轴平行，则：
$sinα=\frac{v}{\frac{2\sqrt{3}}{3}v}$，可得α=60°
设b从磁场区域的P点射出，b在磁场中运动轨迹的圆心角为θ
由几何关系可得：θ=60°
粒子b在磁场中运动的半径$R′=\frac{L}{tan30°}=\sqrt{3}L$
粒子在b在磁场中运动时：$qv′B′=m\frac{v{′}_{\;}^{2}}{R′}$
$v′=\frac{2\sqrt{3}}{3}{v}_{0}^{\;}$
解之得磁场的磁感应强度：$B′=\frac{mv′}{qR′}=\frac{2}{3}B$
粒子在磁场中运动的周期：$T=\frac{2πm}{qB′}$
粒子在磁场中运动的时间：$t′=\frac{θ}{360°}T$
解得：$t′=\frac{πm}{3qB′}=\frac{πm}{2qB}$
答：（1）匀强电场的电场强度E大小为$\frac{3q{B}_{\;}^{2}L}{2m}$；
（2）粒子b在磁场中运动时磁场的磁感应强度B′及粒子b在磁场中运动的时间t′为$\frac{πm}{2qB}$．

点评 带电粒子在匀强电场中运动时，要注意应用运动的合成和分解；而在磁场中运动时为匀速圆周运动，在解题时要注意应用好平抛和圆周运动的性质