Question

7．如图所示，一半径为R，内表面粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平．一质量为m的小球自P点正上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道．小球滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，重力加速度的大小为g，小球可视为质点，不计空气阻力．
（1）求小球运动到N点时的速度大小；
（2）求小球从P点运动到N点的过程中摩擦力所做的功；
（3）试通过计算分析说明小球能否到达Q点？若不能，请说明理由；若能，请说明小球到达Q点时的速度是否为0．

Answer 1

分析 （1）根据小球在N点时的受力情况在竖直方向上应用牛顿第二定律得到小球在 N点的速度；
（2）对小球从静止开始运动到N点的过程应用动能定理求得摩擦力做的功，即小球从P点运动到N点的过程中摩擦力所做的功；
（3）分析小球在右半侧的摩擦力与左半侧摩擦力的情况，然后得到两边摩擦力做功的大小关系，再对从静止到Q点应用动能定理即可．

解答 解：（1）小球运动到N点时，在竖直方向上只受重力和轨道对球的支持力作用；
小球滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，由牛顿第三定律可知：轨道对球的支持力为4mg；
故在竖直方向上应用牛顿第二定律可得：$4mg-mg=\frac{m{{v}_{N}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{N}=\sqrt{3gR}$；
（2）小球从静止运动到N点的过程中只有重力、摩擦力做功，而摩擦力只存在于从P点运动到N点的过程中，
所以，由动能定理可得：小球从P点运动到N点的过程中摩擦力所做的功$W=\frac{1}{2}m{{v}_{N}}^{2}-2mgR=\frac{3}{2}mgR-2mgR=-\frac{1}{2}mgR$；
（3）根据左右对称关系，在同一高度，由于摩擦力做功使得右半边的速度变小，轨道对求的支持力变小，故滑动摩擦力变小；
因此从N到Q克服摩擦做的功-W′小于从P到N克服摩擦做的功-W，即$-W′＜-W=\frac{1}{2}mgR$；
对小球从静止运动到Q点应用动能定理可得：Q点的动能为${E}_{kQ}=mgR+W+W′=\frac{1}{2}mgR+W′＞0$；
所以小球一定能达到Q点，且在到达Q点时的速度没有减小到0．
答：（1）小球运动到N点时的速度大小为$\sqrt{3gR}$；
（2）小球从P点运动到N点的过程中摩擦力所做的功为$-\frac{1}{2}mgR$；
（3）小球能到达Q点，且小球到达Q点时的速度不为0．

点评 物体运动学问题，一般先对物体进行受力分析，然后由牛顿第二定律，根据运动规律求得物体运动过程量；由动能定理求取物体某一时刻的状态量．