Question

13．图（甲）为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO′匀速转动，线圈的匝数n=100、电阻r=10Ω，线圈的两端经集流环与电阻R连接，电阻R=90Ω，与R并联的交流电压表为理想电表．在t=0时刻，线圈平面与磁场方向平行，穿过每匝线圈的磁通量Φ随时间t按图（乙）所示正弦规律变化． 求：当线圈由开始计时匀速转动90°过程中，

（1）通过R的电荷量q为多少？
（2）R上产生电热Q_R为多少？
（3）外力做的功为多少？
（4）交流发电机产生的电动势的峰值；
（5）电路中交流电压表的示数．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律，结合磁通量的变化量求出通过电阻R的电量．
（2）根据电动势最大值的表达式，结合磁通量的最大值，求出电动势的最大值，根据最大值确定有效值；根据能量守恒定律及焦耳定律可求得外力所做的功
（3）电路中产生的热能即为外力所做的功

解答 解：（1）根据$q=n\frac{△∅}{{R}_{总}}$得：$q=n\frac{△∅}{{R}_{总}}=100×\frac{2×1{0}^{-2}}{90+10}C=0.02C$
（2）交流发电机产生电动势的最大值为：E_m=nBSω，
则电动势的最大值为：${E}_{m}=nBSω=100×2×1{0}^{-2}×100V=200V$；
电动势的有效值为：E=$\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{200}{\sqrt{2}}V=100\sqrt{2}$V，
电阻R产生的热量为：${Q}_{R}=（\frac{E}{R+r}）^{2}Rt=（\frac{100\sqrt{2}}{90+10}）^{2}×90×0.0157$J=2.826J
（3）回路中消耗的电能为：Q=$\frac{{E}^{2}}{R+r}t=\frac{（100\sqrt{2}）^{2}}{90+10}×0.0157J=3.14J$，
故外力做的功为：W=Q=3.14J
（4）交流发电机产生电动势的最大值为：E_m=nBSω，
则电动势的最大值为：${E}_{m}=nBSω=100×2×1{0}^{-2}×100V=200V$
（5）电压表示数为：U=IR=$\frac{E}{R+r}R=90\sqrt{2}V$
答：（1）通过R的电荷量q为0.02C
（2）R上产生电热Q_R为2.826J
（3）外力做的功为3.14J
（4）交流发电机产生的电动势的峰值为200V；
（5）电路中交流电压表的示数为90$\sqrt{2}$V．

点评 解决本题的关键知道正弦式交流电峰值的表达式E_m=nBSω，以及知道峰值、有效值、平均值和瞬时值的区别