Question

水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接，起点A距水面的高度H=7.0m，BC长d=2.0m，端点C距水面的高度h=1.0m．一质量m=50kg的运动员从滑道起点A点无初速地自由滑下，运动员与AB、BC间的动摩擦因数均为μ=0.10，（cos37°=0.8，sin37°=0.6，运动员在运动过程中可视为质点）求：
（1）运动员沿AB下滑时加速度的大小a；
（2）运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W和到达C点时速度的大小υ；
（3）保持水平滑道端点在同一竖直线上，调节水平滑道高度h和长度d到图中B′C′位置时，运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大，求此时滑道B′C′距水面的高度h′．

Answer 1

分析：（1）运动员沿AB下滑时，受到重力mg、支持力和滑动摩擦力，根据牛顿第二定律求解加速度．
（2）运动员从A滑到C的过程中，克服摩擦力做功为W=μmgcosθ（

H-h

sinθ

）+μmgd=μmg[d+（H-h）cotθ]．根据动能定理求解到达C点时速度的大小υ；
（3）运动员从A滑到C的过程中，克服摩擦力做功W保持不变，根据动能定理得到运动员滑到C点时的速度大小．从C到水平地面，运动员做平抛运动，由平抛运动的规律得到水平位移h′的关系式，由数学知识求解水平位移最大时h′的值．

解答：解：（1）运动员沿AB下滑时，受力情况如图所示

F_f=μF_N=μmgcosθ
根据牛顿第二定律：mgsinθ-μmgcosθ=ma
得运动员沿AB下滑时加速度的大小为：
   a=gsinθ-μgcosθ=5.2 m/s² 
（2）运动员从A滑到C的过程中，克服摩擦力做功为：
W=μmgcosθ（

H-h

sinθ

）+μmgd=μmg[d+（H-h）cotθ]=500J
由动能定理得  mg（H-h）-W=

1

2

mv2，
得运动员滑到C点时速度的大小  v=10 m/s    
（3）在从C点滑出至落到水面的过程中，运动员做平抛运动的时间为t，
由h′=

1

2

gt2，得  t=

2h′ g

下滑过程中克服摩擦做功保持不变  W=500J
根据动能定理得：
   mg（H-h′）-W=

1

2

mv2，
解得  v=

2g(H-1-h′)

运动员在水平方向的位移：
  x=vt=

2g(H-1-h′)

?

2h′ g

=

4(H-1-h′)h′

当h′=

H-1

2

=3m时，水平位移最大 
答：
（ 1）运动员沿AB下滑时加速度的大小a是5.2 m/s²；
（2）运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W为500J，到达C点时速度的大小υ为10m/s；
（3）滑道B′C′距水面的高度h′为3m时，水平位移最大．

点评：本题中关键之处要抓住滑动摩擦力做功W=μmg[d+（H-h）cotθ]，与AC间水平位移大小成正比，AC间水平位移不变，W不变．第3问得到水平位移x与h′的关系式，根据数学知识求解极大值的条件．