Question

10．如图所示，在倾角为θ的固定光滑斜面上有两个用轻弹簧相连接着质量均为m的物块A、B，C为斜面底端的一固定挡板，整个系统处于静止状态．现用一平行于斜面向上的恒力F拉物块A使之向上运动，恰好能将物块B拉离挡板C．在此过程中，已知物块A运动的距离为d，其达到的最大速度为v，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）

• A． 弹簧的劲度系数k=$\frac{2mgsinθ}{d}$
• B． 恒力F=2mgsinθ
• C． 弹簧在开始时刻所具有的弹性势能为$\frac{1}{2}$mv²sinθ
• D． 若恒力变为原来的2倍，在题述过程中，恒力的最大功率为2mgsinθ$\sqrt{2gdsinθ}$

Answer 1

分析 开始时，系统静止，对A分析受力情况，由胡克定律求出弹簧的压缩量．当B刚离开C时，弹簧的弹力等于B的重力沿斜面下的分力，根据胡克定律求解出弹簧的伸长量，从而得到整个过程A沿斜面向上移动的距离；对整个过程，运用功能关系求F的大小．当A的合力为零时速度最大，由平衡条件和胡克定律求弹簧的劲度系数k．由功能关系求弹簧在开始时刻所具有的弹性势能．若恒力变为原来的2倍，由功能原理求出A的最大速度，再求恒力的最大功率．

解答 解：AB、设原来弹簧的压缩量为x₁，物块B恰好挡板C时弹簧的伸长量为x₂．整个过程A沿斜面向上移动的距离为S．
开始时，A有：kx₁=mgsinθ
物块B恰好挡板C时，对B有：kx₂=mgsinθ
则得：x₁=x₂=$\frac{mgsinθ}{k}$，S=x₁+x₂=2$\frac{mgsinθ}{k}$．
可知初末状态弹簧的弹性势能相等，由功能关系得：FS=mgSsinθ，得：F=mgsinθ
A的速度最大时合力为零，则有：F=mgsinθ+kx₃，得：x₃=0
由几何关系有 d=x₁，由上得 k=$\frac{mgsinθ}{d}$，故AB错误．
C、设弹簧在开始时刻所具有的弹性势能为E_p．由功能关系得：Fd+E_p=mgdsinθ+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
得 E_p=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，故C错误．
D、若恒力变为原来的2倍，即：F=2mgsinθ
设A的最大速度为v_m．此时弹簧的伸长量为 x₄．则有：F=kx₄+mgsinθ
可得：x₄=$\frac{mgsinθ}{k}$=x₁．x₁+x₄=d
A从开始运动到速度最大的过程，由功能关系有：F（x₁+x₄）=mgsinθ•（x₁+x₄）+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
恒力的最大功率为 P=Fv_m．
联立解得 P=2mgsinθ$\sqrt{2gdsinθ}$，故D正确．
故选：D

点评 含有弹簧的问题，往往要研究弹簧的状态，分析物块的位移与弹簧压缩量和伸长量的关系是常用思路．要正确分析能量转化的情况，由功能关系研究．