Question

3．如图所示，粗糙水平轨道与半径为R的竖直光滑半圆轨道在B点平滑连接，在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场，场强E=$\frac{2mg}{q}$．现有一质量为m，电量为+q的小球（可视为质点）从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开圆轨道后，经界面MN上的P点进入电场（P点恰好在A点的正上方）．已知A、B间距离为2R，重力加速度为g，求：
（1）小球在C处的速度大小；
（2）小球从A运动到B克服阻力做功；
（3）小球从A运动到C的过程中对轨道压力的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用小球做平抛运动，据平抛运动水平方向的匀速和竖直方向的自由落体运动求解 即可．
（2）从A到C利用动能定理求解 即可．
（3）从小球受到重力和电场力的合力分析处小球在轨道上的最大压力，利用牛顿第二定律求解即可．

解答 解：（1）小球离开C点做平抛运动，根据$R=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$，得$t=\sqrt{\frac{2R}{g}}$
则小球在C点的速度${v}_{C}^{\;}=\frac{2R}{t}$
解得${v}_{C}^{\;}=\sqrt{2gR}$
（2）A→C过程，由动能定理得：
$Eq•3R-mg2R-{W}_{f}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入数据解得：${W}_{f}^{\;}=3mgR$
（3）小球进入圆周轨道，电场力做正功，重力做负功
从P点进入电场做曲线运动，电场力做负功，重力做正功，由于电场力是重力2倍，因此小球在圆周D处速度最大，利用复合场等效法D处应是重力与电场力合力连线跟圆周的交点，设OD连线与竖直方向夹角为θ，则tanθ=2

A→D过程，根据动能定理得：
$Eq（2R+Rsinθ）-{W}_{f}^{\;}-mgR（1-cosθ）$=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
$N-mgcosθ-qEsinθ=m\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$
解得：$N=3\sqrt{5}mg$
答：（1）小球在C处的速度大小$\sqrt{2gR}$；
（2）小球从A运动到B克服阻力做功3mgR；
（3）小球从A运动到C的过程中对轨道压力的最大值$3\sqrt{5}mg$

点评 明确小球的受力和运动分析是解题的关键，灵活应用动能定理和牛顿第二定律是解题的关键，题目综合性较强．