题目内容

18．如图1所示，光滑曲面轨道置于高度为H=1.8m的平台上，其末端与平台水平相切，另有一长木板两端分别搁在轨道末端点和水平地面间，构成倾角为θ=37°的斜面，整个装置固定在竖直平面内，一个可视作质点的质量为m=0.1kg的小球，沿光滑曲面下滑，不计空气阻力．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2）

（1）若小球从某处以1m/s的初速度开始沿曲面下滑，小球离开平台的速度大小为3m/s，则小球开始下落的高度h为多大？
（2）若小球由静止沿曲面下滑后能够落在木板上，则释放小球的高度h应该满足什么条件？
（3）试推导小球由静止沿曲面下滑后第一次撞击木板时的动能Ek与它下滑高度h的关系式，并作出Ek-h图象．

分析 （1）小球下滑过程中受重力和支持力，其中支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解；
（2）先根据平抛运动的位移公式求解出平抛的初速度，然后对沿斜面下滑过程运用机械能守恒定律列式求解；
（3）小球落到斜面上，位移方向一定，先根据位移时间关系公式得到运动时间，再求出水平和竖直分速度后合成合速度，得到动能的一般表达式，再作图．

解答 解：（1）小球从光滑曲面上滑下，只有重力做功，由机械能守恒定律：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$ 
解得：h=0.4m
（2）小球离开平台后做平抛运动，从轨道下滑的高度h越大，落在平板上的位置越低，考虑恰好落在地面上的临界情况，根据平抛运动的分运动公式，有：
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v0t
tan37°=$\frac{H}{x}$
根据机械能守恒定律，有：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立解得：h=0.8m
故h≤0.8m即可落在木板上；
（3）由机械能守恒定律可得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小球由离开平台后做平抛运动，可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，则：
$y=\frac{1}{2}g{t^2}$ 
x=v0t
$tan37°=\frac{y}{x}$
vy=gt
$v_t^2=v_0^2+v_y^2$
${E_K}=\frac{1}{2}mv_t^2$
由以上格式联立可得：Ek=3.25h
考虑到当h＞0.8m时小球不会落到斜面上，其图象如图所示

答：（1）若小球从某处以1m/s的初速度开始沿曲面下滑，小球离开平台的速度大小为3m/s，则小球开始下落的高度h为0.3m；
（2）若小球由静止沿曲面下滑后能够落在木板上，则释放小球的高度h应该满足条件h≤0.8m；
（3）小球由静止沿曲面下滑后第一次撞击木板时的动能Ek与它下滑高度h的关系式为Ek=3.25h，Ek-h图象如上所示．

点评 本题关键是将平抛运动沿着水平和竖直方向正交分解，根据位移时间关系公式和速度时间关系列式，同时对沿斜面加速过程运用机械能守恒定律列式后联立求解．

练习册系列答案
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