Question

如图20所示，一上表面粗糙的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为θ。另一质量为m的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力F作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜面体静止不动，就必须施加一个大小为P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的大小和方向。

Answer 1

解说：这是一道难度较大的静力学题，可以动用一切可能的工具解题。

方法一：隔离法。由第一个物理情景易得，斜面于滑块的摩擦因素μ= tgθ    对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分析受力，并将F沿斜面、垂直斜面分解成F_x和F_y ，滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示(N表示正压力和弹力，f表示摩擦力)，如图21所示。对滑块，我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡F_x = f + mgsinθ  F_y + mgcosθ= N  且 f = μN = Ntgθ  综合以上三式得到：

F_x = F_ytgθ+ 2mgsinθ①  对斜面体，只看水平方向平衡就行了

P = fcosθ+ Nsinθ即：4mgsinθcosθ=μNcosθ+ Nsinθ代入μ值，化简得：F_y = mgcosθ②  ②代入①可得：F_x = 3mgsinθ

最后由F =解F的大小，由tgα= 解F的方向(设α为F和斜面的夹角)。

答案：大小为F = mg，方向和斜面夹角α= arctg()指向斜面内部。

方法二：引入摩擦角和整体法观念。仍然沿用“法一”中关于F的方向设置(见图21中的α角)。先看整体的水平方向平衡，有：Fcos(θ- α) = P ⑴    再隔离滑块，分析受力时引进全反力R和摩擦角φ，由于简化后只有三个力(R、mg和F)，可以将矢量平移后构成一个三角形，如图22所示。

在图22右边的矢量三角形中，有： = = ⑵

注意：φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ ⑶    解⑴⑵⑶式可得F和α的值。