Question

9．如图所示，长为2L的CDE光滑绝缘轨道与水平面成θ角，D为轨道中点．两块带等量异种电荷的平行金属板AB与轨道垂直，分别放置在D、E两处，A板上有一小孔（忽略它对两板间电场分布的影响），两板间有场强为E的匀强电场．一个质量为m，电荷量为q（q＜0）的小球a自靠近B板处无初速释放，穿过小孔后（不与金属板A接触）与轨道C端相同不带电金属小球b碰撞，碰撞过程中无能量损失．已知小球b在下一次碰撞前会散尽所有的电荷．求：
（1）小球a第一次到达C点时的速度；
（2）小球第n次向上穿过A板运动能到达的位置．

Answer 1

分析 （1）小球向下运动的过程中，重力做正功，电场力做负功，运用动能定理列式，可求得小球a第一次到达C点时的速度．
（2）运用动能定理，对小球a第一次返回、第二次下滑、第二次返回、第三次下滑…等多次列式，总结规律，求解即可．

解答 解：（1）首次到达C点的过程中，由动能定理可知
 mgsinθx2L-EqL=$\frac{1}{2}$mv₁²-0…①
得 v₁=$\sqrt{\frac{2（2mgLsinθ-EqL）}{m}}$
（2）首次返回到最高点的过程中，由动能定理可知
-mgsinθL+（E•$\frac{q}{2}$-mgsinθ）l₁=0-$\frac{1}{2}$mv₁²…②
第二次下滑，由动能定理可知
 mgsinθl₁+mgsinθL-E•$\frac{q}{2}$l₁=$\frac{1}{2}$mv₂²-0…③
第二次返回到最高点的过程中，由动能定理可知
-mgsinθL+（E•$\frac{q}{{2}^{2}}$-mgsinθ）l₂=0-$\frac{1}{2}$mv₂²…④
…
联立各式得 l_n=$\frac{（mgsinθ-qE）L}{mgsinθ-\frac{qE}{2n}}$
答：
（1）小球a第一次到达C点时的速度是$\sqrt{\frac{2（2mgLsinθ-EqL）}{m}}$；
（2）小球第n次向上穿过A板运动能到达的位置离C点距离为$\frac{（mgsinθ-qE）L}{mgsinθ-\frac{qE}{2n}}$．

点评 了解研究对象的运动过程是解决问题的前提，本题要多次运用动能定理，采用归纳法研究小球a上滑距离的数学规律，从而得到通项表达式．