Question

16．宇宙飞船绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示．已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T₀．太阳光可看作平行光，不考虑地球公转的影响，宇航员在A点测出地球的张角为σ，下列说法中正确的是（　　）

• A． 飞船的高度为$\frac{R}{sin\frac{σ}{2}}$
• B． 飞船的线速度为$\sqrt{\frac{GMsin\frac{σ}{2}}{R}}$
• C． 飞船的周期为2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GMsi{n}^{3}\frac{σ}{2}}}$
• D． 飞船每次“日全食”过程的时间为$\frac{αT0}{2π}$

Answer 1

分析 宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，由飞船的周期及半径可求出飞船的线速度；同时由引力提供向心力的表达式，可列出周期与半径及角度α的关系．当飞船进入地球的影子后出现“日全食”到离开阴影后结束，所以算出在阴影里转动的角度，即可求出发生一次“日全食”的时间．

解答 解：A、飞船绕行有：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$　①，T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$　②．
应用几何关系．在△OEA中有sin$\frac{α}{2}$=$\frac{R}{r}$　③，飞船高度为h=r-R　④．
③式代入④式，解得h=R（$\frac{1}{sin\frac{α}{2}}$-1），故A错误；
B、解①③得v=$\sqrt{\frac{GMsin\frac{σ}{2}}{R}}$，故B正确；
C、解②③得T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GMsi{n}^{3}\frac{σ}{2}}}$，故C正确；
D、每次“日全食”时间t为绕行BAC时间．
由△ODB≌△OEA知γ=$\frac{α}{2}$，又有β=γ，
解得β=$\frac{α}{2}$　⑤
综合圆周运动规律．有：2β=ωt，2π=ωT，
解得t=$\frac{Tβ}{π}$　⑥，解⑤⑥式得t=$\frac{α}{2π}$T，故D错误．
故选：BC

点评 掌握匀速圆周运动中线速度、角速度及半径的关系，同时理解万有引力定律，并利用几何关系得出转动的角度．