Question

2．如图所示，真空中有一个半径r=0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B=2.0×10^-3T，方向垂直于纸面向里，在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度为L₁=0.5m的匀强电场区域，电场强度E=1.5×10³N/C，在x=2m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的荷质比$\frac{q}{m}$=1.0×10⁹C/kg带负电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内．一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子甲，恰能从磁场与电场的相切处进入电场．不计重力及阻力的作用．求：
（1）粒子甲进入电场时的速度；
（2）速度方向与y轴正方向成30°（如图中所示）射入磁场的粒子乙，最后打到荧光屏上，画出粒子乙的运动轨迹并求该发光点的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据运动的半径公式可以求得粒子在磁场中运动的轨道半径；
（2）粒子在磁场中做的是圆周运动，进入电场粒子做累平抛运动，射出电场做匀速直线运动，根据粒子的运动的状态，可以求得粒子的运动的位置．

解答 解：（1）由题意及几何关系可得，粒子甲在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径：
R=r=0.5m                 
洛伦兹力提供向心力，故有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$                 
可得粒子进入电场时的速度：
v=1.0×10⁶ m/s
（2）粒子乙在磁场中转过120°角后从P点垂直电场线进入电场，运动轨迹如图所示：

在电场中的加速度大小：
a=$\frac{Eq}{m}$=1.5×10³×1×10⁹=1.5×10¹²m/s²，
粒子乙穿出电场时：
 v_y=at₂=$a×\frac{{L}_{1}}{v}$=$1.5×1{0}^{12}×\frac{0.5}{1×1{0}^{6}}$=0.75×10⁶m/s，
tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=$\frac{0.75×1{0}^{6}}{1×1{0}^{6}}$=0.75                
在磁场中：
△y₁=1.5r=0.75m           
在电场中侧移：
△y₂=$\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}=\frac{1}{2}×1.5×1{0}^{12}×（\frac{0.5}{1×1{0}^{6}}）^{2}=0.1875m$
飞出电场后粒子做匀速直线运动：
△y₃=L₂tanα=（2-0.5-0.5）×0.75=0.75m，
故y=△y₁-△y₂-△y₃=-1.875m，
则该发光点的坐标（2，-1.875）．
答：（1）粒子甲进入电场时的速度为1.0×10⁶ m/s；
（2）粒子的运动轨迹如图所示，该发光点的位置坐标为（2，-1.875）．

点评 电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，关键是画出轨迹，由几何知识求出半径．定圆心角，求时间．