Question

7．如图，在倾角为30°，斜面长为10m的光滑斜面顶端有一个小球，让它从静止开始释放，与垂直于斜边的档板反复相撞，每次相撞小球均以撞前速度大小的一半的速度反弹，试求：
（1）小球运动的总时间．
（2）小球运动的总路程．（g取10m/s²）

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求得小球运动的加速度，由速度公式和撞板前后速度关系列式，求解总时间．
（2）根据位移时间公式求解总路程．

解答 解：（1）小球在光滑上运动时的加速度大小为 a=$\frac{mgsin30°}{m}$=gsin30°=5m/s²．
由 x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，得小球第一次下滑的时间 t₁=$\sqrt{\frac{2x}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×10}{5}}$=2s
第一次撞板前瞬间的速度大小 v₁=at₁=5×2=10m/s，第一次撞板后瞬间的速度大小 v₁′=$\frac{1}{2}$v₁=5m/s
第一次撞板后到第二次撞板前在斜面上运动的时间 t₂=$\frac{2{v}_{1}^{′}}{a}$=$\frac{2×5}{5}$=2s
第二次撞板前瞬间的速度大小 v₂=a•$\frac{1}{2}$t₂=5×1=5m/s，第二次撞板后瞬间的速度大小 v₂′=$\frac{1}{2}$v₂=$\frac{1}{4}{v}_{1}$
第二次撞板后到第三次撞板前在斜面上运动的时间 t₃=$\frac{2{v}_{2}′}{a}$=$\frac{{v}_{1}′}{a}$=$\frac{1}{2}$t₂
第三次撞板前瞬间的速度大小 v₃=a•$\frac{1}{2}$t₃=5×$\frac{1}{2}$=2.5m/s，第三次撞板后瞬间的速度大小 v₃′=$\frac{1}{2}$v₃=（$\frac{1}{2}$）³v₁′
第三次撞板后到第四次撞板前在斜面上运动的时间 t₄=$\frac{2{v}_{3}′}{a}$=$\frac{2×（\frac{1}{2}）^{3}{v}_{1}^{′}}{a}$=（$\frac{1}{2}$）² t₂
…
第n-1次撞板后到第n次撞板前在斜面上运动的时间 t_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ t₂
所以总时间为 t=t₁+t₂+t₃…t_n=t₁+$\frac{{t}_{2}}{1-\frac{1}{2}}$=2+$\frac{2}{1-\frac{1}{2}}$=6s
（2）小球运动的总路程为 S=x+2×$\frac{{v}_{1}^{′2}}{2a}$+2×$\frac{{v}_{2}^{′2}}{2a}$+2×$\frac{{v}_{3}^{′2}}{2a}$+…=x+2×$\frac{{v}_{1}^{′2}}{2a}$+2×（$\frac{1}{2}$）²•$\frac{{v}_{1}^{′2}}{2a}$+（$\frac{1}{2}$）⁴•$\frac{{v}_{1}^{′2}}{2a}$+…=x+2×$\frac{\frac{{v}_{1}^{′2}}{2a}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=10+2×$\frac{\frac{{5}^{2}}{2×5}}{1-0.25}$=$\frac{50}{3}$m
答：
（1）小球运动的总时间是6s．
（2）小球运动的总路程是$\frac{50}{3}$m．

点评 本题是物理中数列问题，关键要根据运动学公式推导出时间和路程的解析式，运用归纳法研究规律．