Question

5．如图所示，A是半径为r的圆形光滑轨道，固定在木板B上，竖直放置；B的左右两侧各有一光滑挡板固定在地面上，使其不能左右运动，小球C静止放在轨道最低点，A，B，C质量相等．现给小球一水平向右的初速度v₀，使小球在圆型轨道的内侧做圆周运动，为保证小球能通过轨道的最高点，且不会使B离开地面，最高点速度v必须满足（重力加速度为g）（　　）

• A． 最小值为0
• B． 最大值为2$\sqrt{gr}$
• C． 最小值为$\sqrt{gr}$
• D． 最大值为$\sqrt{3gr}$

Answer 1

分析 小球在环内侧做圆周运动，通过最高点速度最小时，轨道对球的最小弹力为零，根据牛顿第二定律求出小球在最高点的最小速度；
为了不会使环在竖直方向上跳起，小球在最高点对轨道的弹力不能大于2mg，根据牛顿第二定律求出最高点的最大速度，再根据机械能守恒定律求出小球在最低点的速度范围．

解答 解：在最高点，速度最小时有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，
解得：v₁=$\sqrt{gr}$．
根据机械能守恒定律，有：2mgr+$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₁′²，
解得：v₁′=$\sqrt{5gr}$．
在最高点，速度最大时有：mg+2mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$，
解得：v₂=$\sqrt{3gr}$．
根据机械能守恒定律有：2mgr+$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₂′²，
解得：v₂′=$\sqrt{7gr}$．
所以保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，在最低点的速度范围为：$\sqrt{5gr}$≤v0≤$\sqrt{7gr}$；在最高点的速度范围为：$\sqrt{gr}$≤v≤$\sqrt{3gr}$．故CD正确，AB错误．
故选：CD．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，关键理清在最高点的两个临界情况，求出在最高点的最大速度和最小速度．