Question

7．如图所示，在空间中取直角坐标系Oxy，在第一象限内平行于y轴的虚线MN与y轴距离为d，从y轴到MN之间的区域充满一个沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E．初速度可以忽略的电子经过另一个电势差为U的电场加速后，从y轴上的A点以平行于x轴的方向射入第一象限区域，A点坐标为（0，h）．已知电子的电量为e，质量为m，若加速电场的电势差U＞$\frac{E{d}^{2}}{4h}$，电子的重力忽略不计，求：
（1）则电子从A点进入电场到离开该电场区域所经历的时间t和离开电场区域时的速度v；
（2）电子经过x轴时离坐标原点O的距离l．

Answer 1

分析 （1）电子在沿x轴方向做匀速运动，即可求得运动时间，在电场方向做匀加速运动，由运动学公式及可求得速度；
（2）电子射入第一象限的电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解出出电场点的坐标，电子离开电场后水平、竖直方向上都做匀速运动，先求出电子射出P点的速度，再由位移公式求解电子经过x轴时离坐标原点O的距离．

解答 解：（1）由 eU=$\frac{1}{2}$mv₀²
得电子进入偏转电场区域的初速度v₀=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$
设电子从MN离开，则电子从A点进入到离开匀强电场区域的时间t=$\frac{d}{v0}$=$d\sqrt{\frac{m}{2eU}}$；
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{E{d}^{2}}{4U}$
因为加速电场的电势差U＞$\frac{E{d}^{2}}{4h}$，说明y＜h，说明以上假设正确，
所以v_y=at=$\frac{eE}{m}$×d$\sqrt{\frac{m}{2eU}}$=$\frac{eEd}{m}\sqrt{\frac{m}{2eU}}$
离开时的速度v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}{+v}_{y}^{2}}=\sqrt{\frac{2eU}{m}+\frac{e{E}^{2}{d}^{2}}{2mU}}$
（2）设电子离开电场后经过时间t′到达x轴，在x轴方向上的位移为x′，则
x′=v₀t′
y′=h-y=h-$\frac{{v}_{y}}{2}$t=v_yt′
则 l=d+x′=d+v₀t′=d+v₀（$\frac{h}{vy}$-$\frac{t}{2}$）=d+$\frac{v0}{vy}$h-$\frac{d}{2}$=$\frac{d}{2}$+$\frac{v0}{vy}$h
代入解得　l=$\frac{d}{2}$+$\frac{2hU}{Ed}$
答：（1）若加速电场的电势差U＞$\frac{E{d}^{2}}{4h}$，则电子从A点进入电场到离开该电场区域所经历的时间t为$d\sqrt{\frac{m}{2eU}}$，离开电场区域时的速度v为$\sqrt{\frac{2eU}{m}+\frac{e{E}^{2}{d}^{2}}{2mU}}$；
（2）电子经过x轴时离坐标原点O的距离l为$\frac{d}{2}$+$\frac{2hU}{Ed}$．

点评 本题是带电粒子在匀强电场中加速和偏转结合的问题，能熟练运用运动的分解法研究类平抛运动，结合几何知识进行求解．