Question

12．如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n（n=1，2，3，…），每人只有一个沙袋，x＞0一侧的沙袋质量为12kg，x＜0一侧的沙袋质量为10kg．一质量为M=70kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行．不计轨道阻力．当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数）．
（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？
（2）车上最终会有几个沙袋？

Answer 1

分析 （1）采用虚设法依题意，空车出发后，车上堆积了几个沙袋时就反向滑行，然后由动量守恒定律即可求出；
（2）再设向x负方向运行时虚设一中间状态v=0，设抛n′个m′沙袋后车速为零，代入动量守恒定律的表达式即可求出．

解答 解：（1）在小车朝向x正方向滑行的过程中，设第（n-1）个沙袋扔到车上后车的速度为v_n-1，第n个沙袋扔到车上后车的速度为v_n，根据动量守恒定律：
[M+（n-1）m]v_n-1-2nm•v_n-1=（M+nm）v_n；
可得：v_n=$\frac{M-（n+1）m}{M+nm}$v_n-1
小车发生反向运动的条件是：v_n-1＞0，v_n＜0，即
 M-nm＞0
 M-（n+1）m＜0
代入M=70kg，m=12kg，要求n为整数，解得n=5
（2）车反向滑行至x＜0一侧时，车（包括车上沙袋）的质量为M+5m，在车向左滑行过程中，设第（n-1）个沙袋扔到车上后车的速度为v′_n-1，第n个沙袋扔到车上后车的速度为v′_n，根据动量守恒定律：
[M+5m+（n-1）m′]v′_n-1-2nm′v′_n-1=（M+5m+nm′）v′_n
即   v′_n=$\frac{M+5m-（n+1）m′}{M+5m+nm′}$v′_n-1
车不再向左滑行的条件是：v′_n-1＞0，v′_n≤0，即：
 M+5m-nm′＞0
 M+5m-（n+1）m′≤0
其中 m′=10kg，可得 12≤n＜13
当扔了12个沙袋时，车速为0，车停止滑行，此时车上共有沙袋 5+12=17个
答：（1）空车出发后，车上堆积了5个沙袋时车就反向滑行．
（2）车上最终会有17个沙袋．

点评 本题的关键是选取研究对象并寻找反向的条件．车反向的条件是由速度大于零变到速度小于零，而在本题解的过程中，用“虚设法“虚设了临界状态速度等于零，抓住这一临界状态并合理选取研究对象；把车和（n-1）个扔到车上的沙袋及第n个要扔到车上的沙袋作为一个系统，是正确解答该类运动方向发生变化问题的关键．本题也可不设速度为零的临界状态，而用v_n-1＞0和v_n＜0讨论分析．