Question

16．人类一直梦想登上月球，将月球作为人类的第二个家园．现根据观测已知月球的质量为M，半径为R，自转周期为T，万有引力常量为G．求：
（1）月球的第一宇宙速度v
（2）月球同步卫星的轨道半径r．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是卫星绕月球表面飞行时的速度，根据万有引力提供圆周运动向心力求解即可；
（2）同步卫星的周期与月球自转周期相同，根据万有引力提供向心力求解同步卫星的轨道半径．

解答 解：（1）卫星绕月星表面飞行时万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得卫星的速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
近月卫星的飞行速度即为月球的第一宇宙速度；
（2）同步卫星的周期与月球自转周期相同，根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得同步卫星的轨道半径r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
答：（1）月球的第一宇宙速度v为$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
（2）月球同步卫星的轨道半径r为$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

点评 理解什么是第一宇宙速度，知道同步卫星的周期与月球自转周期相同，能根据万有引力提供圆周运动向心力分析是关键．