Question

在地面上足够高的地方，存在一个高度为的“相互作用区”（如图中划有虚线的部分）一个小圆环P套在一根均匀直杆Q上，P和Q的质量均为=0.1kg，开始时P处于Q的最下端，Q竖直放置，P距“相互作用区域”的高度为，让P和Q一起从静止开始下落。求：

⑴当P进入“相互作用区域”时，若P受到一个方向向上的恒力的作用，而Q不受影响。设P、Q间的滑动摩擦力，问要使环 P不从杆Q上滑落，杆Q至少要长？

⑵若“相互作用区域”和杆Q都足够长，当P进入“相互作用区域”时， P既受到一个方向向下的恒力作用，同时也受到一个水平力（其中，是P的速即时速度）作用，设P和Q间的动摩擦因数μ=0.5，已知P从进入“相互作用区域”开始，经过的时间刚好达到最大速度，求其最大速度和此时Q的速度各是多大？（假设杆Q在下落过程始终保持竖直，不计空气阻力，）

  

Answer 1

（1）0.7m  （2）30m/S   14m/s 

解析:

⑴对P、Q，在没有进入“相互作用区域”前是相对静止的，由机械能守恒得：

    ┅①

    当P进入“相互作用区域”后，P受重力、滑动摩擦力和竖直向上的恒力作用而作减速向下运动，设其刚离开 “相互作用区域”时速度为，同时Q的速度为，由动能定理得： ┅②

P进入“相互作用区域”后，和Q组成的系统隐含合外力为零，动量守恒，即有：

┅③

对Q，由动能定理得┅④

    因，故P出来后，受到向上的摩擦力，Q受向下的摩擦力，设经历时间两者达到共速，分别由动量定理得，对P：┅⑤

    对Q：┅⑥

代入已知解①–⑥得，，，

，，，

    设环P离开相互作用区域后在杆Q上滑行的距离为，由于两者都作匀变速直线运动，故可作出两者的图如图3-2所示，则为中的阴影面积值，即

。

   

则要使P不从Q上滑落， Q的长度至少为

。

    ⑵当P以进入“相互作用区

域”后，因作用力变了，运动性质也变了，两者都是变加速运动，对P，由牛顿第二定律得：

，显然，当 时，得最大的。

    设在经时间后Q的速度为，对P、Q组成的系统，竖直方向上由动量定理得：

   

代入解得。