Question

10．太阳的两颗行星A．B绕太阳做匀速圆周运动，已知两行星质量之比为4：1，它们到太阳的距离之比为4：1，则它们绕太阳运动的线速度之比为1：2，角速度之比为1：8，向心加速度之比为1：16．

Answer 1

分析 太阳的两颗行星A、B绕太阳做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，列式得到加速度、周期、线速度的表达式，再求解即可．

解答 解：行星围绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力有
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=ma$=$m{ω}_{\;}^{2}r$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$      $a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$      $ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}$
所以$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}^{\;}}{{r}_{1}^{\;}}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
$\frac{{ω}_{1}^{\;}}{{ω}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}=\sqrt{\frac{{1}_{\;}^{3}}{{4}_{\;}^{3}}}=\frac{1}{8}$
$\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{1}{16}$
故答案为：1：2          1：8        1：16

点评 万有引力提供圆周运动向心力，写出不同物理量间的关系式求解即可．