Question

12．如图所示，质量M=2kg的木块套在水平固定杆上，并用轻绳与质量m=1kg的小球相连，今用跟水平方向成α=60°角的力F=10$\sqrt{3}$N拉着小球并带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m的相对位置保持不变，g=10m/s²．在运动过程中，求：
（1）轻绳与水平方向的夹角θ
（2）木块M与水平杆间的动摩擦因数μ；
（3）当α为多大时，使球和木块一起向右匀速运动的拉力最小．

Answer 1

分析 （1）对小球受力分析，受已知力、重力、细线的拉力，根据平衡条件列式求解；
（2）对小球和滑块整体受力分析，受已知力、重力、弹力和摩擦力，根据共点力平衡条件列式求解；
（3）以整体为研究对象，水平方向根据牛顿第二定律求解F的表达式，再根据数学知识求极值．

解答 解：（1）m处于平衡状态，其合力为零．
以m为研究对象，由平衡条件得：
水平方向 Fcos60°-F_Tcosθ=0     ①
竖直方向Fsin60°-F_Tsinθ-mg=0   ②
解得：θ=30°
（2）M、m整体处于静止状态，可看做整体，系统所受合力为零．
以M、m整体为研究对象．由平衡条件得
水平方向Fcos60°-μF_N=0       ③
竖直方向F_N+Fsin60°-Mg-mg=0  ④
由③④得μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）以整体为研究对象，水平方向根据共点力的平衡条件可得：Fcosα=μ[（m+M）g-Fsinα]，
解得：F=$\frac{μ（M+m）g}{cosα+μsinα}$=$\frac{μ（M+m）g}{\sqrt{{μ}^{2}+1}（\frac{1}{\sqrt{{μ}^{2}+1}}cosα+\frac{μ}{\sqrt{{μ}^{2}+1}}sinα）}$
令sinβ=$\frac{1}{\sqrt{{μ}^{2}+1}}$，则cosβ=$\frac{μ}{\sqrt{{μ}^{2}+1}}$，解得sinβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则β=60°；
则得F=$\frac{μ（M+m）g}{\sqrt{{μ}^{2}+1}sin（α+β）}$，当α+β=90°时F最小，所以α=30°．
答：（1）轻绳与水平方向的夹角为30°；
（2）木块M与水平杆间的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）当α为30°时，使球和木块一起向右匀速运动的拉力最小．

点评 本题主要是考查了牛顿第二定律的知识；利用牛顿第二定律答题时的一般步骤是：确定研究对象、进行受力分析、进行正交分解、在坐标轴上利用牛顿第二定律建立方程进行解答；注意整体法和隔离法的应用．