Question

7．如图所示，在xoy平面内有以虚线OP为理想边界的匀强电场和匀强磁场区域，OP与x轴成45°角，OP与y轴之间的磁场方向垂直纸面向外，OP与x轴之间的电场平行于x轴向右，电场强度为E，在y轴上有一点M，到O点的距离为L，现有一个质量为m，带电量为+q的带电粒子从静止经电压为U的电场加速后从M点以垂直y轴的速度方向进入磁场区域（加速电场图中没有画出），不计带电粒子的重力，求
（1）从M点进入匀强磁场的带电粒子速度的大小？
（2）为使带电粒子刚好不能进入电场区域，则磁感应强度为B应为多大？
（3）改变匀强磁场的磁感应强度的大小，使带电粒子沿y轴负方向进入匀强电场，则带电粒子从x轴离开电场时的位置到O点的距离为多少？

Answer 1

分析 （1）对加速过程根据动能定理列式求解即可；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出临界轨迹，结合几何关系求解出轨道半径，然后结合牛顿第二定律和向心力公式列式求解；
（3）粒子垂直进入电场，在磁场中做匀速圆周运动，轨迹为四分之一圆弧，在电场中做类似平抛运动．

解答 解：（1）从M点进入磁场的带电粒子速度的大小为v，根据动能定理得：
qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$      
解得：
v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$      
（2）带电粒子刚好不能进入电场区域轨迹如题所示，设磁感应强度为B，由图可知：
OM=R+$\sqrt{2}R$=L        
解得：
R=$\frac{L}{1+\sqrt{2}}$              
由洛伦兹力提供向心力可得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：
B=（$\sqrt{2}$+1）$\sqrt{\frac{2mU}{q{L}^{2}}}$         
（3）由图可知带电粒子沿y轴负方向进入匀强电场时，在磁场中运动的轨道半径为${R}_{1}=\frac{L}{2}$，在电场中做类平抛运动，加速度a=$\frac{qE}{m}$，
Y轴方向匀速运动，有：
R₁=vt
X轴方向匀加速运动，有：
x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
联立解得：
x=$\frac{E{L}^{2}}{16U}$，
到O点的距离为$\frac{L}{2}+$$\frac{E{L}^{2}}{16U}$；
答：（1）从M点进入匀强磁场的带电粒子速度的大小为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）为使带电粒子刚好不能进入电场区域，则磁感应强度为B应为（$\sqrt{2}$+1）$\sqrt{\frac{2mU}{q{L}^{2}}}$；
（3）改变匀强磁场的磁感应强度的大小，使带电粒子沿y轴负方向进入匀强电场，则带电粒子从x轴离开电场时的位置到O点的距离为$\frac{L}{2}+$$\frac{E{L}^{2}}{16U}$．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动情况，画出运动轨迹，找出临界状态对应的轨迹，结合牛顿第二定律、动能定理、类平抛运动的分运动公式列式求解．