Question

14．如图所示，x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于纸面向里，大小为B，x轴下方有一匀强电场，电场强度的大小为E，方向与y轴的夹角θ为45°且斜向上方． 现有一质量为m电量为q的正离子，以速度v₀由y轴上的A点沿y轴正方向射入磁场，该离子在磁场中运动一段时间后从x轴上的C点（图中未画出）进入电场区域，该离子经C点时的速度方向与x轴夹角为45°．不计离子的重力，设磁场区域和电场区域足够大． 求：
（1）C点的坐标；
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间；
（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角．（求出正切值即可）

Answer 1

分析 （1）带电粒子在匀强磁场中在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出轨迹半径．画出粒子运动的轨迹，由几何知识求出C点的坐标；
（2）根据运动轨迹的几何关系，来确定圆心角，并结合周期公式与牛顿第二定律、运动学公式，即可求解；
（3）根据粒子做类平抛运动处理规律，由运动的分解，并结合运动学公式，即可求解．

解答 解：（1）磁场中带电粒子在洛仑兹力作用下做圆周运动，故有：
$qvB=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：$T=\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{2πm}{qB}$
粒子运动轨迹如图所示，由几何知识知，

${x}_{C}=-（r+rcos45°）=-\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}$
故，C点坐标为：$（-\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}，0）$
（2）设粒子从A到C的时间为t₁，由题意知：${t}_{1}=\frac{5}{8}T=\frac{5πm}{4qB}$
设粒子从进入电场到返回C的时间为t₂，其在电场中做匀变速运动，有：
$\frac{Eq}{m}{t}_{2}={v}_{0}-（-{v}_{0}）$
联立⑥⑦解得：
${t}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{qE}$
设粒子再次进入磁场后在磁场中运动的时间为t₃，由题意知：${t}_{3}=\frac{1}{4}T=\frac{πm}{2qB}$
故而，设粒子从A点到第三次穿越x轴的时间为：
$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{7πm}{4qB}+\frac{2m{v}_{0}}{qE}$
（3）粒子从第三次过x轴到第四次过x轴的过程是在电场中做类似平抛的运动，即沿着v₀的方向（设为x′轴）做匀速运动，即x′=v₀t
沿着E的方向（设为y′轴）做初速为0的匀变速运动，即：
$y′=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}•{t}^{2}$，${v}_{y}′=\frac{qE}{m}•t$
设离子第四次穿越x轴时速度的大小为v，速度方向与电场方向的夹角为α．由图中几何关系知：
$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}=tan45°$
$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
得：$tanα=\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$
解得：$v=\sqrt{5}{v}_{0}$
$α=arctan\frac{1}{2}$  或tanα=$\frac{1}{2}$
答：（1）C点的坐标是$（-\frac{（2+\sqrt{2}）m{v}_{0}}{2qB}，0）$；
（2）离子从A点出发到第三次穿越x轴时的运动时间是$\frac{7πm}{4qB}+\frac{2m{v}_{0}}{qE}$；
（3）离子第四次穿越x轴时速度的大小及速度方向与电场方向的夹角是$α=arctan\frac{1}{2}$．

点评 本题是粒子在电场和磁场中运动的问题，电场中类平抛运动的研究方法是运动的分解，磁场中圆周运动的研究方法是画轨迹．