Question

12．如图所示，竖直平面内的$\frac{3}{4}$圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A点与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，求：
（1）释放点距A点的竖直高度； 
（2）落点C与A的水平距离．

Answer 1

分析 （1）小球在管道内做圆周运动，根据在B点的受力情况，由牛顿第二定律可以求出小球在B点的速度，由动能定理可以求出释放点距A点的竖直高度．
（2）小球离开轨道后做平抛运动，由平抛运动知识可以求出平抛运动的水平距离从而得到C到A的水平距离．

解答 解：（1）设小球到达B点的速度为v_B．因为小球到达B点时，管壁对小球的弹力F=9mg，所以由牛顿第二定律可得：
F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
从小球开始下落到达B点的过程中，由动能定理可得：
mg（h+R）=$\frac{1}{2}$mv_B²-0，
解得：h=3R；
（2）设小球到达最高点的速度为v．小球从B点到达管道最高点过程中，由动能定理可得：
-2mgR=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_B²
小球离开管道后做平抛运动，则
在竖直方向上有：R=$\frac{1}{2}$gt²，
在水平方向上：x=vt，
解得：x=2$\sqrt{2}$R
由此可得，C与A的水平距离为（2$\sqrt{2}$-1）R；
答：（1）释放点距A点的竖直高度为3R；
（2）落点C与A的水平距离为（2$\sqrt{2}$-1）R．

点评 分析清楚小球的运动过程，明确牛顿第二定律可求得某点的速度，运用动能定理可研究两个点间速度关系．也可以运用机械能守恒定律、平抛运动规律解题．