Question

6．如图甲所示，在平行边界MN，PQ之间存在宽度为L的匀强电场，电场周期性变化的规率如图乙所示，取竖直向下为电场正方向；在平行边界MN、EF之间存在宽度为s、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域Ⅱ．在PQ右侧有宽度足够大、方向垂直纸面向里的匀强磁场区域Ⅰ．在区域Ⅰ中距PQ距离为L的A点，有一质量为m、电荷量为q、重力不计的带正电粒子以初速度v₀沿竖直向上方向开始运动，以此作为计时起点，再经过一段时间粒子又恰好回到A点，如此循环，粒子循环运动一周，电场恰好变化一个周期，已知粒子离开区域Ⅰ进入电场时，速度恰好与电场方向垂直，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）求区域I的磁场的磁感应强度大小B₁
（2）若E₀=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3pL}$，要实现上述循环，确定区域Ⅱ的磁场宽度s的最小值以及磁场的磁感应强度大小B₂．
（3）若E₀=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3pL}$，要实现上述循环，求电场的变化周期T．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系求出半径，再用半径公式求出${B}_{1}^{\;}$
（2）粒子在电场中类平抛运动，进入磁场区域Ⅱ做匀速圆周运动，画出轨迹，求出在Ⅱ区域的半径及半径公式求出${B}_{2}^{\;}$
（3）根据题意粒子运动周期与电场变化的周期相等，求出粒子一周期运动时间，得到结果

解答 解：（1）粒子在Ⅰ区域做圆周运动的半径为：R=L
由牛顿第二定律知：$q{v}_{0}^{\;}{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
联立解得：${B}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qL}$
（2）粒子在电场中做类平抛运动，离开电场时沿电场方向的速度为：
${v}_{y}^{\;}=at=\frac{q{E}_{0}^{\;}}{m}×\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{4}{3}{v}_{0}^{\;}$
离开电场时速度的偏转角为θ，有：$tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{4}{3}，θ=53°$
所以离子离开电场时的速度为：$v=\frac{{v}_{0}^{\;}}{cos53°}=\frac{5}{3}{v}_{0}^{\;}$
画出粒子运动轨迹的示意图如图所示，粒子在Ⅱ区域做圆周运动的圆心${O}_{2}^{\;}$与在Ⅰ区域做圆周运动的圆心${O}_{1}^{\;}$的连线必须与边界垂直才能完成上述运动，由几何关系知粒子在Ⅱ区域做圆周运动的半径为：
$r=\frac{L-\frac{2}{3}L}{cos53°}=\frac{5}{9}L$
所以$S≥r（1-sin53°）=\frac{L}{9}$
$r=\frac{mv}{q{B}_{2}^{\;}}$
解得：${B}_{2}^{\;}=\frac{3m{v}_{0}^{\;}}{qL}$
（3）电场变化的周期等于粒子运动的周期
粒子在Ⅰ区域运动的时间为：${t}_{1}^{\;}=\frac{{T}_{1}^{\;}}{2}=\frac{πm}{q{B}_{1}^{\;}}=\frac{πL}{{v}_{0}^{\;}}$
粒子在电场中运动的时间为：${t}_{2}^{\;}=\frac{2L}{{v}_{0}^{\;}}$
l粒子在Ⅱ区域做圆周运动为：${t}_{3}^{\;}=\frac{37}{180}×\frac{2πr}{v}=\frac{37πL}{270{v}_{0}^{\;}}$
所以周期为：$T={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{307π+540}{270{v}_{0}^{\;}}L$
答：（1）求区域I的磁场的磁感应强度大小为$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qL}$
（2）若E₀=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3pL}$，要实现上述循环，确定区域Ⅱ的磁场宽度s的最小值$\frac{L}{9}$以及磁场的磁感应强度大小${B}_{2}^{\;}$为$\frac{3m{v}_{0}^{\;}}{qL}$．
（3）若E₀=$\frac{4m{v}_{0}^{2}}{3pL}$，要实现上述循环，求电场的变化周期T为$\frac{307π+540}{270{v}_{0}^{\;}}L$．

点评 本题考查了粒子在电场中的类平抛运动和在磁场中的匀速圆周运动，关键是画出运动轨迹，选择合适的规律解题．