Question

9．如图所示，真空室内水平直线ab（足够长）以上区域只存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．有一个点状的α粒子放射源P，它在纸面内向各个方向均匀发射速率相等的α粒子 （不计α粒子的重力）．放射源P到直线ab的距离PC=L，直线ab上的Q点与P点相距PQ=$\frac{\sqrt{5}}{2}$L已知：α粒子的电荷量为q（q＞0），α粒子的质量为m．（sin37°=0.6；cos37°=0.8）则：
（1）已知水平向左射出的α粒子恰好打到直线ab上的Q点，求α粒子的发射速率；
（2）求打到直线ab上的α粒子所用的最长时间和最短时间的比值．
（3）求打到直线ab上的α粒子数与发射的α粒子总数的比值．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求得半径，然后由洛伦兹力做向心力求解；
（2）根据粒子偏转方向和几何条件得到最长时间和最短时间粒子运动轨迹，进而求得中心角，即可得到运动时间之比；
（3）根据粒子偏转方向和几何条件得到打在ab上的粒子发射角范围，从而得到比值．

解答 解：（1）水平向左射出的α粒子恰好打到直线ab上的Q点，故由几何关系可得：$QC=\frac{1}{2}L$，${R}^{2}=（R-L）^{2}+（\frac{1}{2}L）^{2}$
所以，粒子做圆周运动的半径$R=\frac{5}{8}L$；
又有粒子做圆周运动，洛伦兹力做向心力，故有：$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以，α粒子的发射速率$v=\frac{BqR}{m}=\frac{5BqL}{8m}$；
（2）粒子在磁场中运动向左偏转的半径相同，周期相同，故转过的中心角和运动时间成正比，
再根据中心角和弦长的关系可知：粒子打在ab线上C点左端且轨迹与ab相切的时候运动时间最长，粒子打在C点时运动时间最短；
由几何关系可知：粒子打在C点左端且轨迹与ab相切转过的中心角为360°-127°=233°；粒子打在C点时转过的中心角为106°，所以，打到直线ab上的α粒子所用的最长时间和最短时间的比值为233：106；
（3）随着发射粒子方向逆时针旋转，打在ab上的粒子在与ab相切的两个点之间从左向右移动；
在最左的点对应粒子发射方向为与PC成37°斜向左上方，在最右边的粒子对应粒子的发射方向为与PC成37°斜向左下方，故能打在ab上的粒子发射角为106°；
所以，打到直线ab上的α粒子数与发射的α粒子总数的比值为106：360=53：180；
答：（1）已知水平向左射出的α粒子恰好打到直线ab上的Q点，那么α粒子的发射速率为$\frac{5BqL}{8m}$；
（2）打到直线ab上的α粒子所用的最长时间和最短时间的比值为233：106．
（3）打到直线ab上的α粒子数与发射的α粒子总数的比值为53：180．

点评 带电粒子的运动问题，加速电场一般由动能定理或匀加速运动规律求解；偏转电场由类平抛运动规律求解；磁场中的运动问题则根据圆周运动规律结合几何条件求解．