Question

7．为了研究小球经过竖直平面内圆周运动最高点的速度条件，我们用了图甲所示的“翻滚过山车”装置．现把它简化为图乙所示的结构，测得圆轨道的半径R=8cm；实验中，发现质量m=30g的小球从高为h=35cm的A处静止释放，小球恰能过圆轨道的最高点C．求：
（1）小球过最高点时的速度；
（2）小球运动过程中克服摩擦所做的功；
（3）若忽略一切摩擦，经过点B时，小球对轨道的压力．

Answer 1

分析 （1）对小球在最高点应用牛顿第二定律即可求得速度；
（2）对小球从A到C应用动能定理即可求解；
（3）对小球从A到B应用机械能守恒即可求得速度，然后在B点对小球应用牛顿第二定律即可求得支持力，最后由牛顿第三定律求得压力．

解答 解：（1）小球恰能过圆轨道的最高点C，对小球在最高点应用牛顿第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{gR}=\frac{2}{5}\sqrt{5}m/s$；
（2）小球从A到C运动过程只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：$mg（h-2R）+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}mgR$
解得：${W}_{f}=mg（\frac{5}{2}R-h）=-4.5×1{0}^{-2}J$；
所以，小球运动过程中克服摩擦所做的功为4.5×10^-2J；
（3）若忽略一切摩擦，则小球运动过程只有重力做功，机械能守恒，故有：$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
对小球在B点应用牛顿第二定律可得小球受到的支持力为：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=mg（1+\frac{2h}{R}）=\frac{117}{40}N$，方向竖直向上；
故由牛顿第三定律可得：经过点B时，小球对轨道的压力为$\frac{117}{40}N$，方向竖直向下；
答：（1）小球过最高点时的速度为$\frac{2}{5}\sqrt{5}m/s$；
（2）小球运动过程中克服摩擦所做的功为4.5×10^-2J；
（3）若忽略一切摩擦，经过点B时，小球对轨道的压力为$\frac{117}{40}N$，方向竖直向下．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．