Question

如图，板间距为d、板长为4d的水平金属板A和B上下正对放置，并接在电源上．现有一质量为m、带电量+q的质点沿两板中心线以某一速度水平射入，当两板间电压U=U₀，且A接负时，该质点就沿两板中心线射出；A接正时，该质点就射到B板距左端为d的C处．取重力加速度为g，不计空气阻力．
（1）求质点射入两板时的速度；
（2）当A接负时，为使带电质点能够从两板间射出，求：两板所加恒定电压U的范围．

Answer 1

分析：（1）当两板间电压U=U₀，且A接负时，质点沿两板中心线射出，做匀速直线运动，由平衡条件可得出板间电压与重力的关系；A接正时，该质点做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，由图看出，偏转距离等于

d

2

，水平位移等于d，由牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式可求出质点射入两板时的速度．
（2）当A接负时，为使带电质点能够从两板间射出，当质点恰好从下板右边缘射出时，电压最小，当质点恰好从上板右边缘射出时，电压最大，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解．

解答：解：（1）当两板加上U₀电压且A板为负时，有：
  q

U0

d

=mg…①
A板为正时，设带电质点射入两极板时的速度为v₀，向下运动的加速度为a，经时间t射到C点，有：
 

qU0

d

+mg=ma…②
又水平方向有  d=v₀t…③
 竖直方向有

d

2

=

1

2

at2…④
由①②③④得：v0=

2gd

…⑤
（2）要使带电质点恰好能从两板射出，设它在竖直方向运动的加速度为a₁、时间为t₁，应有：
 

d

2

=

1

2

a1

t

2 1

…⑥
  t₁=

4d

v0

…⑦
由⑥⑦⑧得：a₁=

g

8

…⑧
若a₁的方向向上，设两板所加恒定电压为U₁，有：
 

qU1

d

-mg=ma1…⑨
若a₁的方向向下，设两板所加恒定电压为U₂，有：
  mg-

qU2

d

=ma₁…⑩
⑧⑨⑩解得：U₁=

9

8

U0，U₂=

7

8

U0
所以，所加恒定电压范围为：

9

8

U0＞U＞

7

8

U0．
答：（1）求质点射入两板时的速度为

2gd

；
（2）当A接负时，为使带电质点能够从两板间射出，两板所加恒定电压U的范围为

9

8

U0＞U＞

7

8

U0．

点评：本题质点在电场和重力场中复合场中做类平抛运动，研究方法与平抛运动类似，由牛顿第二定律和运动学结合处理．