Question

4．某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切．弹射装置将一个小物体（可视为质点）以某一水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出．已知数字“8”每个小圆的半径r=0.1m，数字“0”的半径R=0.2m，小物体质量m=0.1kg，且小物体运动过程中在每一个数字的最低点的速度大小均为v₁=3m/s，在每一数字的最高点的速度大小均为v₂=1m/s，g取10m/s²．求：

（1）小物体经过数字“8”的最低点时管道对小物体作用力的大小；
（2）小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向；
（3）小物体从p点抛出后的水平射程．

Answer 1

分析 （1）小物体经过数字“8”的最低点时由牛顿第二定律可求管道对小物体作用力的大小；
（2）先假设小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的方向向下，根据牛顿第二定律可求，再由正负判断方向；
（3）根据平抛运动规律求解小物体从p点抛出后的水平射程．

解答 解：（1）设小物体经过数字“8”的最低点时管道对小物体作用力为N₁，因为小物体运动过程中在每一个数字的最低点的速度大小均为v₁=3m/s，
由牛顿第二定律可得：N₁-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$
代入数据解得：N₁=mg+m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$=0.1×10+0.1×$\frac{{3}^{2}}{0.1}$=10N；
（2）设小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小N₂，方向向下，
由牛顿第二定律得：N₂+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
代入数据解得：N₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$-mg=0.1×$\frac{{1}^{2}}{0.2}$-0.1×10=-0.5N
所以小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小为0.5N，方向向上；
（3）小物体从p点抛出后做平抛运动，
竖直方向上有：4r=$\frac{1}{2}$gt²
解得：t=$\sqrt{\frac{8r}{g}}$=$\sqrt{\frac{8×0.1}{10}}$=$\sqrt{0.08}$s
水平方向上有：x=v₂t=1×$\sqrt{0.08}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$m．
答：（1）小物体经过数字“8”的最低点时管道对小物体作用力的大小为10N；
（2）小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小为0.5N，方向向上；
（3）小物体从p点抛出后的水平射程为$\frac{\sqrt{2}}{5}$m．

点评 对于细圆管的作用力方向的判断和细杆属于一类，应该先求出需要的向心力，根据向心力大小和重力大小关系确定管道对小物体作用力的大小和方向．