Question

2．游乐场的过山车可以简化成如图所示的模型：弧形轨道的下端与圆轨道相切于M点，质量为m的小球从弧形轨道上距地面高度为h处自由滚下，进入半径为R的圆轨道运动（不计摩擦力和空气阻力）．求：
（1）若h=5R，小球通过M点时速度的大小；
（2）若要让小球恰能通过圆轨道的最高点N，h的大小．

Answer 1

分析 （1）从小球刚开始运动到M点的过程中，对小球运用动能定理，即可求出小球通过M点时速度的大小；
（2）小球运动到竖直圆轨道最高点时由重力和轨道压力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出小球通过最高点的速度，再由动能定理求h．

解答 解：（1）若h=5R，从小球刚开始运动到M点的过程中，
根据动能定理：mgh=$\frac{1}{2}$mv_M²
可得小球通过M点时速度的大小：v_M=$\sqrt{10gR}$
（2）小球恰能通过最高点，在最高点对小球进行受力分析，小球只受重力，
重力提供向心力，根据牛顿第二定律：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$可得：v=$\sqrt{gR}$
从小球刚开始运动到N点的过程运用动能定理可得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}$mv²
联立解得：h=$\frac{5}{2}$R
答：（1）若h=5R，小球通过M点时速度的大小为$\sqrt{10gR}$；
（2）若要让小球恰能通过圆轨道的最高点N，h的大小为$\frac{5}{2}$R．

点评 本题考查动能定理的综合运用，属于圆周运动中轻绳的模型，在最高点时临界情况是重力恰好提供圆周运动的向心力，采用牛顿第二定律与动能定理结合的方法．