Question

17．某光滑桌面上，整齐叠放着n本质量均为m的同种新书，处于静止状态，书本之间的摩擦因数均为μ、宽度为L，书本正前方有一固定的竖直挡板（厚度不计），书本到挡板距离为2L，如图所示为侧视图．在水平向右的力F作用下，所有书本无相对滑动，一起向右运动．当上面书本撞击挡板后便立即停止运动，直至下面书本全部通过挡板下方区域后，才掉落至桌面，且上面书本碰撞挡板前后对下面书本的压力保持不变（不考虑书本形变）．已知重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力大小，所有运动均为一维直线运动．则：
（1）若n=7，力F作用于第7本书上，大小为3μmg，求书本的加速度大小；
（2）若n=7，力F作用于第7本书上，大小为3μmg，求书本与挡板碰撞时的速度大小；
（3）若n=7，力F作用于第3本书上，求书本向右运动的最大加速度大小；
（4）若力F作用于第k（k≤n）本书，书本以最大加速度加速碰撞挡板，调节挡板高度使得碰撞后上方k本书停止运动，试讨论下方书本能否穿出挡板及穿出后书本的速度大小．

Answer 1

分析 （1）对整体分析，运用动能定理求出书本与挡板碰撞时的速度大小；
（2）对下面4本书整体分析，抓住最大摩擦力的大小，根据牛顿第二定律求出最大加速度大小；
（3）若力F作用于书的上半区，结合牛顿第二定律求出最大加速度，根据速度位移公式求出碰撞前的速度，再结合速度位移公式求出下方书本穿出挡板的速度大小．
若力F作用于下半区，结合最大加速度求出碰撞前的速度，结合速度位移公式求出穿出后速度的表达式，通过穿出后速度大于零求出k的取值范围．

解答 解：（1）对整体受力分析，根据牛顿第二定律可知F=7ma，解得a=$\frac{F}{7m}=\frac{3μmg}{7m}=\frac{3}{7}μg$
（2）有运动学公式可知$v=\sqrt{2as}=\frac{2}{7}\sqrt{21μg}$
（3）对下面4本书整体分析得：
μ•3mg=4m•a_m，
解得：${a}_{m}=\frac{3μg}{4}$．
（4）①若用力F作用于上半区，有：$k≤\frac{1}{2}n$，
则最大加速度为：a=$\frac{μkmg}{（n-k）m}$=$\frac{μkg}{n-k}$，
碰撞前的速度为：v₁=$\sqrt{2•\frac{μkg}{n-k}•2L}$，
当下方n-k本书穿越挡板时，加速度仍然是：$a=\frac{μkg}{n-k}$，
则穿出后的速度大小为：${v}_{2}=\sqrt{{v}_{1}^{2}-2•\frac{μkg}{n-k}•L}=\sqrt{2•\frac{μkg}{n-k}•L}$．
②若力F作用于下半区有：k$\frac{1}{2}n$，
则最大加速度为：$a=\frac{μkmg}{km}=μg$，
碰撞前速度为：${v}_{3}=\sqrt{2•μg•2L}$，
当下方n-k本书穿越挡板时，加速度为：a=$\frac{μkg}{n-k}$，
则穿出后的速度大小为：${v}_{4}=\sqrt{{v}_{3}^{2}-3•\frac{μkg}{n-k}•L}=\sqrt{2μgL•\frac{2n-3k}{n-k}}$，条件为：$\frac{1}{2}n≤k≤\frac{2}{3}n$．
③$\frac{2}{3}$n＜k＜n，下方书本不能穿出．
答：（1）书本与挡板碰撞时的速度大小为 $\frac{2\sqrt{21μgL}}{7}$．
（2）书本向右运动的最大加速度大小为 $\frac{3μg}{4}$．
（3）若用力F作用于上半区，k≤$\frac{1}{2}$n，穿出后的速度大小为 $\sqrt{2•\frac{μkg}{n-k}•L}$．
若力F作用于下半区 $\frac{1}{2}$n≤k≤$\frac{2}{3}$n，穿出后的速度大小为 $\sqrt{2μgL•\frac{2n-3k}{n-k}}$．
若 $\frac{2}{3}$n＜k＜n，下方书本不能穿出．
答：（1）若n=7，力F作用于第7本书上，大小为3μmg，书本的加速度大小为$\frac{3}{7}μg$；
（2）若n=7，力F作用于第7本书上，大小为3μmg，求书本与挡板碰撞时的速度大小为$\frac{2}{7}\sqrt{21μg}$；
（3）若n=7，力F作用于第3本书上，求书本向右运动的最大加速度大小$\frac{3}{4}μg$；
（4）若用力F作用于上半区，$k≤\frac{1}{2}n$，穿出后的速度大小为$\sqrt{2•\frac{μkg}{n-k}•L}$．
若力F作用于下半区$\frac{1}{2}n≤k≤\frac{2}{3}n$，穿出后的速度大小为$\sqrt{2μgL•\frac{2n-3k}{n-k}}$．
若$\frac{2}{3}n＜k＜n$，下方书本不能穿出．

点评 本题考查了牛顿第二定律、运动学公式和动能定理的综合运用，关键合理地选择研究对象，通过牛顿第二定律求出加速度，通过运动学公式讨论分析求解，有一定的难度．