Question

一个储液桶的底面直径为L．当桶内没有液体时．从桶外某点A恰能看到桶底边缘处的B点，A的高度为H，A距桶边缘的水平距离为

L

2

．当桶内装满某种液体时，仍沿AB方向看去，恰好可以看到桶底上的点C，CB两点间相距为

L

2

．
（1）求该种液体的折射率．（可以用根式表示）
（2）当桶内液体的深度为

H

2

时，仍沿AB方向看去，恰好可以看到桶底上的D点，求DB间的距离．
（3）若液体的液面逐渐下降，人沿AB方向观察桶底．始终恰好可以看到处于桶底的点光源S，设液面下降的速度为v₁．则点光源S沿桶底移动的速度大小如何？

Answer 1

分析：（1）作出装满液体后的光路图，由数学知识求出入射角和折射角的正弦值，根据折射定律求出折射率的大小．
（2）当桶内液体的深度为

H

2

时，仍沿AB方向看去，恰好可以看到桶底上的D点，折射角不变，故入射角不变，根据几何知识求解DB间的距离．
（3）根据几何知识和匀速运动速度公式，得到点光源S沿桶底移动的速度大小与v₁的关系式，再进行分析．

解答：解：（1）作出光路图1所示，由几何关系得：
 
sinr=

L

L2+ 4 9 H2

  ①
sini=

L

2 L2 4 + 4 9 H2

 ②
由折射定律得：n=

sinr

sini

=

9L2+16H2

9L2+4H2

 ③
（2）当桶内液体的深度为

H

2

时，作出光路图2所示．

由于折射角不变，故入射角不变，则EF∥OC．
设BC=x₁，DC=x₂，由△BEC∽△BOI得：

x1

L

=

1 2 H

2 3 H

  ④
由△FEC∽△COI得：

x2

L 2

=

1 2 H

2 3 H

  ⑤
而DB=x₁-x₂，
联立解得，BD=

3

8

L  ⑥
（3）如图3所示．设BJ=x₃，SJ=x₄，液体的高度为h．点光源S沿桶底移动的速度大小为v₂．

由△BGJ∽△BOI得：
 

x3

L

=

h

2 3 H

，得：x₃=

3hL

2H

  ⑦
由△SGJ∽△COI得：
 

x4

L 2

=

h

2 3 H

，得：x₄=

3hL

4H

  ⑧
则△x=BS=x₃-x₄=

3hL

4H

△x

△t

=

3hL 4H

△t

=

3L

4H

?

h

△t

⑨
∵

h

△t

=v₁
∴v₂=

△x

△t

=

3L

4H

v1⑩
答：（1）该种液体的折射率为

9L2+16H2

9L2+4H2

．
（2）DB间的距离为

3

8

L．
（3）点光源S沿桶底移动的速度大小为

3L

4H

v1．

点评：本题关键是反复运用几何知识求解角度和相关距离，考查运用数学知识解决物理问题的能力，难度较大．