Question

11．如图所示，真空中有以M（r，o）为圆心，半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，在第一象限y=r的直线上方足够大的范围内，有方向水平向左的匀强电场，第二象限内有和圆柱形匀强磁场的磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场．在纸面内从O点以速率v₀沿x轴正方向射入磁场的质子，恰好经过圆与y=r直线的切点．已知质子的电荷量为e，质量为m，电场强度的大小为E=$\frac{mv}{2er}$，不计质子所受的重力．
（1）求圆柱形匀强磁场区域内磁感应强度的大小；
（2）求质子出发后第二次通过y轴的纵坐标值；
（3）已知质子自第2次经过y轴到第3次经过y轴所用时间为t₀，求质子从O点射入磁场开始至第2n+l（n=0，l，2，3…）次通过y轴经历的时间；
（4）若质子从0点以速率v₀沿与y轴负方向成60°角射入圆柱形匀强磁场，求质子飞出圆柱形匀强磁场区的位置坐标和速度方向．

Answer 1

分析 （1）由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强度；
（2）明确粒子的运动过程，在电场中，用电场中的类平抛规律及牛顿第二定律进行分析，求解第二次通过时的间距；
（3）根据圆周运动的性质可明确第一次经过y轴的时间，再根据周期性可得出时间的通式；
（4）由几何关系可求得质子飞出圆柱形匀强磁场区的位置坐标和速度方向．

解答 解：（1）质子射入磁场后做匀速圆周运动，设半径为r，则有：
ev₀B=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{er}$；
（2）质子沿x轴正向射入磁场，经$\frac{1}{4}$圆弧后以速度v垂直于电场方向进入电场做抛物线运动，第一次经过y轴时速度v与y轴的夹角为θ，由运动学规律得：
△y₁=v₀t
r=$\frac{1}{2}$at²，v_x=at
根据牛顿第二定律可得：
a=$\frac{eE}{m}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2r}$
联立以上各式可得：
△y₁=2r，v_x=v₀
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1；
θ=45°
从第一次通过y轴到第二次通过y轴两点间距为：
△y₂=$\sqrt{2}$$\frac{mv}{Be}$=$\frac{2m{v}_{0}}{Be}$=2r
所以质子第二次通过y轴的纵坐标为：y=r+△y₁+△y₂=5r；
（3）质子从O点射入磁场到第一次通过y轴的时间为：t₁=$\frac{1}{4}$×$\frac{2πr}{{v}_{0}}$+$\frac{2r}{{v}_{0}}$=$\frac{r（4+π）}{2{v}_{0}}$；
此后质子的运动具有周期性，第1次到第3次经过y轴所用时间为：
t₂=$\frac{1}{4}$×$\frac{2πr}{{v}_{0}}$+t₀=$\frac{πr}{2{v}_{0}}$+t₀；
质子从O点射入磁场开始至第2n+1次通过y轴经历的时间为：t_n=t₁+nt₂
联立得：t_n=n（$\frac{πr}{2{v}_{0}}$+t₀）+$\frac{4（4+π）}{2{v}_{0}}$（n=0，1，2，3--）
（4）质子在磁场中转过120°角后从P点飞出磁场，如图所示
x_p=r+r（1-cos60°）=1.5r，
y_p=rsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r
故飞出磁场的位置坐标P为：（1.5r，$\frac{\sqrt{3}}{2}$r），
速度方向沿y轴正方向；
答：（1）圆柱形匀强磁场区域内磁感应强度的大小为$\frac{m{v}_{0}}{er}$；
（2）求质子出发后第二次通过y轴的纵坐标值5r；
（3）质子从O点射入磁场开始至第2n+1（n=0，l，2，3…）次通过y轴经历的时间为n（$\frac{πr}{2{v}_{0}}$+t₀）+$\frac{4（4+π）}{2{v}_{0}}$（n=0，1，2，3--）
（4）若质子从0点以速率v₀沿与y轴负方向成60°角射入圆柱形匀强磁场，质子飞出圆柱形匀强磁场区的位置坐标为（1.5r，$\frac{\sqrt{3}}{2}$r），速度方向沿y轴的正方向．

点评 本题考查带电粒子在磁场及电场中的运动，要注意正确分析物理过程，明确带电粒子在磁场中的圆周运动和电场中的类平抛运动，灵活应用几何关系求解．