Question

11．如图所示，一飞机从A处向北飞到B处，然后又向南飞回A处，若飞机相对于空气的速度v保持不变，而A与B之间距离为l，试证在空气相对于地面的速度u为下述几种情况时，飞机往返一次的时间分别由下述的式子所表示，即
（1）若u=0，即空气静止，往返时间t₀=$\frac{2l}{v}$；
（2）u≠0，但方向由南向北，往返时间t₁=$\frac{{t}_{0}}{（1-\frac{{u}^{2}}{{v}^{2}}）}$；
（3）u≠0，方向由东向西，往返时间t₂=$\frac{{t}_{0}}{\sqrt{1-\frac{{u}^{2}}{{v}^{2}}}}$．

Answer 1

分析 根据平行四边形定则分别求出往返的速度大小，结合位移的大小求出往返的总时间．

解答 证明：（1）若u=0，即空气静止，则A到B与B到A的时间是相等的，都是：$t=\frac{l}{v}$
所以往返时间：t₀=$\frac{2l}{v}$；
（2）u≠0，但方向由南向北，则从A到B时，飞机的速度与风的速度方向相同，合速度为二者的和，所以A到B的时间：
${t}_{11}=\frac{l}{v+u}$
从B到A时，飞机的速度与风的速度方向相反，合速度为二者的差，所以B到A的时间：
${t}_{12}=\frac{l}{v-u}$
往返时间t₁=t₁₁+t₁₂=$\frac{l}{v+u}+\frac{l}{v-u}$=$\frac{2vl}{{v}^{2}-{u}^{2}}$=$\frac{{t}_{0}}{（1-\frac{{u}^{2}}{{v}^{2}}）}$；
（3）风速u≠0，方向由东向西，飞机在往返时速度方向与AB连线之间由一定的夹角，飞机沿垂直于AB方向分速度与风的速度是相等的，即：
v•sinθ=u
所以飞机沿AB方向的分速度：
${v}_{AB}=v•cosθ=v•\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{{v}^{2}-{u}^{2}}$
到B与B到A的时间是相等的，都是：$t′=\frac{l}{{v}_{AB}}=\frac{l}{\sqrt{{v}^{2}-{u}^{2}}}$
所以飞机往返的时间：${t}_{2}=2t′=\frac{2l}{\sqrt{{v}^{2}-{u}^{2}}}=\frac{{t}_{0}}{\sqrt{1-\frac{{u}^{2}}{{v}^{2}}}}$
证毕．

点评 本题考查了匀速直线运动位移公式的运用，难点在于速度的合成，得出往返时合速度的大小．