Question

13．过山车是游乐场中常见的设施．如图是一种过山车的简易模型，它由粗糙的水平轨道和在竖直平面内的两个光滑圆形轨道组成，B、C分别是两个圆形轨道的最低点，第一个圆形轨道的半径R₁=1.4m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v₀=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，恰能通过第一圆轨道的最高点A、B间距L₁=18.5m，B、C间距L₂=12.5m．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取g=10m/s²，计算结果保留小数点后一位数字．试求
（1）小球在经过第一圆轨道最高点时的速度大小；
（2）小球与水平轨道间的动摩擦因数；
（3）如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R₂应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离．

Answer 1

分析 （1）小球恰能通过第一圆轨道的最高点，在最高点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求小球在经过第一圆轨道最高点时的速度大小．
（2）小球从开始到运动到第一圆轨道运动最高点的过程，运用动能定理可求得小球与水平轨道间的动摩擦因数．
（3）要保证小球不脱离轨道，有两种情况：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，与上题相似，根据牛顿第二定律求出小球通过最高点时的速度，根据动能定理求解半径R₂．
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度等于R₂，即上升到与圆心等高处，根据动能定理求解半径R₂．为保证圆形轨道间不相互重叠，根据几何知识知：R₂最大值应满足：（R₁+R₂）²=L²+（R₁-R₂）²，解得R₂．即可得到半径R₂的可变范围；根据动能定理求解小球最终停留点与起始点A的距离．

解答 解：（1）设小球在经过第一圆轨道最高点时的速度大小为v₁．
小球在最高点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律得
   mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
解得 v₁=$\sqrt{14}$m/s
（2）小球从开始到运动到第一圆轨道运动最高点的过程，由动能定理得：
-μmgL₁-2mgR₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 μ=0.2
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第二个圆轨道，设在最高点的速度为v₂，应满足
   mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
从A到第二圆轨道最高点的过程，由动能定理得
-μmg（L₁+L₂）-2mgR₂=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$v₀²
由上两式解得：R₂=0.4m
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R₂，即上升到与圆心等高的位置，
根据动能定理得
-μmg（L₁+L）-mgR₂=0-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：R₂=1.0m
为了保证圆轨道不重叠，R₂最大值应满足：（R₁+R₂）²=L²+（R₁-R₂）²，
解得 R₂=27.9m
综合I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件
0＜R₂≤0.4m 或 1.0m≤R₂≤27.9m
当0＜R₂≤0.4m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L′，则
-μmgL′=0-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 L′=36.0m
当1.0m≤R₂≤27.9m 时，小球最终停留点与起始点A的距离为L〞，则
L″=L′-2（L′-L₁-L）=36-2×（36-18.5-12.5）=26.0m
答：
（1）小球在经过第一圆轨道最高点时的速度大小是3.7m/s；
（2）小球与水平轨道间的动摩擦因数是0.2；
（3）如果要使小球不能脱离轨道，在第二个圆形轨道的设计中，半径R₂的可变范围为 0＜R₂≤0.4m 或 1.0m≤R₂≤27.9m；小球最终停留点与起点A的距离是36.0m或26.0m．

点评 选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义：重力等于向心力．要知道使小球不能脱离轨道并不一定要求做完整的圆周运动．