Question

4．八大行星绕太阳的运转均可看做匀速圆周，若水星绕太阳运转的速率和相应的圆轨道半径分别为v₀和r₀，另一行星绕太阳运转的速率和相应的圆轨道半径分别为v和r，则下列图象能正确描述八大行星运动所遵从的规律是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．  

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出线速度与轨道半径的关系，结合数学知识得出$lg\frac{v}{{v}_{0}}$与$lg\frac{r}{{r}_{0}}$的表达式，从而确定正确的图线．

解答 解：根据$G\frac{Mm}{{{r}_{0}}^{2}}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{r}_{0}}$得，${v}_{0}=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{0}}}$，
根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
则$\frac{v}{{v}_{0}}=\sqrt{\frac{{r}_{0}}{r}}$，
所以$lg\frac{v}{{v}_{0}}=\frac{1}{2}lg\frac{{r}_{0}}{r}$=$-\frac{1}{2}lg\frac{r}{{r}_{0}}$，知$lg\frac{v}{{v}_{0}}-lg\frac{r}{{r}_{0}}$图线的斜率为-$\frac{1}{2}$，故A正确，B、C、D错误．
故选：A．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，本题对数学知识要求较高，需加强这方面的训练．