Question

11．如图所示，有一个可视为质点的质量为m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以v₀=2m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M=3kg的长木板，已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3，圆弧轨道的半径为R=0.4m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=60°，不计空气阻力，g 取10m/s²．求：
（1）小物块刚要到达C点时的速度的大小及与水平方向的夹角．
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少多大？

Answer 1

分析 （1）小物块从A到C做平抛运动，根据平抛运动的基本公式求解小球到达C点时的速度．
（2）小物块由C到D的过程中，运用动能定理可求得物块经过D点时的速度．到达圆弧轨道末端D点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律列式，求出轨道对物块的支持力，再由牛顿第三定律求出物块对轨道的压力．
（3）物块滑上长木板后做匀减速运动，长木板做匀加速运动，小物块恰好不滑出长木板时，物块滑到长木板的最右端，两者速度相等，根据动量守恒或牛顿运动定律、运动学公式结合和能量守恒求出此时木板的长度，即可得到木板的长度最小值．

解答 解：（1）小物块在C点时的速度大小为：v_C=$\frac{{v}_{0}}{cos60°}$=2v₀=4m/s
方向与水平方向的夹角为60°．
（2）小物块由C到D的过程中，由动能定理得：
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
代入数据解得：v_D=2$\sqrt{5}$m/s，
小球在D点时由牛顿第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
代入数据解得：F_N=60N
由牛顿第三定律得：F_N′=F_N=60N，方向竖直向下．
（3）设小物块刚滑到木板左端到达到共同速度，大小为v，小物块在木板上滑行的过程中，小物块与长木板的加速度大小分别为：
a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=3m/s²，
a₂=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.3×1×10}{3}$=1m/s²  
速度分别为：v=v_D-a₁t，v=a₂t
解得：v=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m/s
对物块和木板系统，由能量守恒定律得：
μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}$（m+M）v²
解得：L=2.5 m，即木板的长度至少是2.5 m．
答：（1）小物块到达C点时的速度为4m/s，方向与水平方向的夹角为60°．
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力为60N；
（3）要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少为2.5m．

点评 解决此题的关键要理清小物块的运动情况，掌握平抛运动的研究方法：运动分解法．知道能量守恒定律是求相对位移常用的方法．