Question

7．如图所示，在xOy平面内，MN与y轴平行，间距为d，其间有沿x轴负方向的匀强电场，y轴左侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B₁；MN右侧空间有垂直纸面不随时间变化的匀强磁场，质量为m、电荷量为q的粒子以v₀的速度从坐标原点O沿x轴负方向射入磁场，经过一段时间后再次回到坐标原点，此过程中粒子两次通过电场，总时间t₀=$\frac{4d}{3{v}_{0}}$，粒子重力不计，求：
（1）左侧磁场区域的最小宽度；
（2）电场区域电场强度的大小；
（3）右侧磁场区域宽度及磁感应强度满足的条件．

Answer 1

分析 （1）粒子在左侧磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，然后求出磁场宽度．
（2）粒子在电场中做匀变速直线运动，应用匀变速直线运动的规律可以求出电场强度．
（3）粒子在左右两侧磁场中都做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的轨道半径，作出粒子运动轨迹，然后求出磁场宽度与磁场大小．

解答 解：（1）粒子在左侧磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$，
由几何知识可知，左侧磁场的最小宽度是粒子做圆周运动的半径，则L_min=R=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$；
（2）粒子在电场中来回的总时间：t₀=$\frac{4d}{3{v}_{0}}$，粒子一次通过电场的时间：t=$\frac{2d}{3{v}_{0}}$，
设粒子到达MN边界的速度为v，电场强度为E，
则：d=$\frac{v+{v}_{0}}{2}$t，v=2v₀，v²-v₀²=2$\frac{qE}{m}$d，解得：E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$；
（3）粒子在电场中加速，粒子带正电，该电荷在左侧磁场中向下偏转，
通过电场加速后进入右侧磁场，要使其能够回到原点，在右侧磁场中应向上偏转，
且偏转半径为R或2R，粒子通过电场加速后进入右侧磁场的速度：v=2v₀，
设粒子在右侧磁场中轨道半径为r，磁感应强度为B，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$，
已知：R=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$，粒子在右侧磁场中的运动情况有两种，如图所示：

①当半径r=R时，B=$\frac{2m{v}_{0}}{qR}$=2B₁，
右侧磁场的宽度应满足：x≥$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$；
②当半径r=2R时，B=$\frac{2m{v}_{0}}{qR}$=B₁，
右侧磁场的宽度应满足：x≥$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$；
答：
（1）左侧磁场区域的最小宽度为$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$；
（2）电场区域电场强度的大小为$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$；
（3）右侧磁场区域宽度应满足的条件为：x≥$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$、或x≥$\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$，磁感应强度为：B=2B₁或B=B₁．

点评 本题主要考查了带电粒子在混合场中运动的问题，要求同学们能正确分析粒子的受力情况，再通过受力情况分析粒子的运动情况，画出运动轨迹图，根据几何知识及圆周运动基本公式解答，难度适中．