Question

6．我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星-500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的$\frac{1}{2}$，质量是地球质量的$\frac{1}{8}$．已知地球表面的重力加速度是g，地球的半径为R，忽略火星以及地球自转的影响，求：
（1）火星表面的重力加速度g′的大小；
（2）王跃登陆火星后，经测量发现火星上一昼夜的时间为t，如果要发射一颗火星的同步卫星，它正常运行时距离火星表面将有多远？

Answer 1

分析 （1）求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先表示出来，在进行之比，根据万有引力等于重力，得出重力加速度的关系，根据万有引力等于重力求出火星表面的重力加速度g′的大小；
（2）火星的同步卫星作匀速圆周运动的向心力由火星的万有引力提供，且运行周期与火星自转周期相同，据此求解即可．

解答 解：（1）在地球表面，万有引力与重力相等，
$\frac{GM{m}_{0}}{{R}^{2}}$=m₀g                     
对火星$\frac{GM′{m}_{0}}{R{′}^{2}}$=m₀g′
测得火星的半径是地球半径的$\frac{1}{2}$，质量是地球质量的$\frac{1}{8}$，
联立解得g′=$\frac{1}{2}$g            
（2）火星的同步卫星作匀速圆周运动的向心力由火星的万有引力提供，且运行周期与火星自转周期相同．设卫星离火星表面的高度为h，则
$\frac{GM′{m}_{0}}{（R′+h）^{2}}$=m₀（$\frac{2π}{t}$）²（R′+h）                 
GM′=g′R′² 
解出同步卫星离火星表面高度h=$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{t^2}}}{{32{π^2}}}}}$-$\frac{1}{2}$R     
答：（1）火星表面的重力加速度g′的大小为$\frac{1}{2}$g；
（2）它正常运行时距离火星表面的距离为$\root{3}{{\frac{{g{R^2}{t^2}}}{{32{π^2}}}}}$-$\frac{1}{2}$R．

点评 通过物理规律把进行比较的物理量表示出来，再通过已知的物理量关系求出问题是选择题中常见的方法．把星球表面的物体运动和天体运动结合起来是考试中常见的问题．