Question

11．如图所示，两根等高的四分之一光滑圆弧形金属轨道竖直放置，半径为r、间距为L，在轨道顶端ab处连有水平放置的相距为L的光滑平行金属导轨，距ab左侧L长处设为边界OO′，OO′右侧处在一竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现有一根长度稍大于L、质量为m、电阻忽略不计的金属杆放在OO′左侧2L处，更远处接有定值电阻R，整个过程中金属杆与导轨接触良好，轨道电阻不计．求：
（1）若金属杆在恒力作用下由静止开始从图示位置向右运动3L距离，其速度-位移的关系图象如图甲所示（图中所示量为已知量）．求此过程中电阻R上产生的焦耳热Q₁；
（2）若金属杆从ab处由静止开始下滑，到达轨道最低端cd时受到轨道的支持力为2mg，求此过程中回路产生的焦耳热Q₂和通过R的电荷量；
（3）若金属杆在拉力作用下，从cd开始以速度v₀向左沿轨道做匀速圆周运动，则在到达ab的过程中拉力做的功为多少？

Answer 1

分析 （1）对没有进入磁场过程运用动能定理列式，对进入磁场的过程再次根据动能定理列式，最后联立求解即可；
（2）在轨道最低点，支持力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解最低点的速度；再对从最低点到最高点过程根据动能定理列式求解热量；根据法拉第电磁感应定律列式求解平均感应电动势，根据欧姆定律求解平均电流，得到电荷量；
（3）棒做匀速圆周运动，其水平分运动的速度符合正弦函数规律，先求解电压的有效值，然后根据焦耳定律列式求解．

解答 解：（1）杆从起始位置到2L过程，由动能定理可得：
F•2L=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，
杆在磁场中再运动L过程，根据动能定理，有：
FL+W_安=$\frac{1}{2}m（{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}）$
根据功能关系，有：
W_安=-Q₁，
联立解得：Q₁=$\frac{m（3{v}_{1}^{2}-2{v}_{2}^{2}）}{4}$；
（2）到达轨道底端cd时，根据牛顿第二定律，有：
2mg-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v=$\sqrt{gr}$；
根据能量守恒定律，有：Q₂=mgr-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
故产生的焦耳热Q₂=$\frac{1}{2}mgr$；
平均感应电动势$\overline{E}=\frac{△∅}{△t}$；
平均感应电流：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$；
通过R的电荷量q=$\overline{I}•△t$，
解得：q=$\frac{BrL}{R}$；
（3）金属杆中产生正弦式交变电流的有效值：I=$\frac{BL{v}_{0}}{\sqrt{2}R}$；
在四分之一周期内产生的热量Q=${I}^{2}R\frac{πr}{2{v}_{0}}$；
由功能关系有W_F-mgr=Q，
解得拉力的功为W_F=mgr+$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$；
答：（1）此过程中电阻R上产生的焦耳热Q₁为$\frac{m（3{v}_{1}^{2}-2{v}_{2}^{2}）}{4}$；
（2）此过程中回路产生的焦耳热Q₂为$\frac{1}{2}mgr$，通过R的电荷量为$\frac{BrL}{R}$；
（3）在到达ab的过程中拉力做的功为mgr+$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$．

点评 本题是力电综合问题，关键是明确导体棒的受力情况和运动情况，根据动能定理、牛顿第二定律和功能关系列式求解，注意电流的平均值与有效值的区别．