Question

10．如图所示，在倾角为θ的斜面上固定间距为d的两平行光滑金属导轨，上端连接一阻值为R的电阻，间距为L的三虚线段OO′、PP′、QQ′均水平且与金属导轨垂直，PP′、QQ′间有垂直斜面向上的匀强磁场．一长为d、质量为m、电阻为R的均匀导体棒从导．轨上OO′从静止开始释放，进入磁场时恰好匀速下滑．已知重力加速度为g．金属导轨电阻不计，求：
（1）导体棒穿越磁场过程中，电阻R增加的内能E_R；
（2）匀强磁场磁感应强度大小B．

Answer 1

分析 （1）根据能量守恒定律和功能关系求解电阻R增加的内能；
（2）根据动能定理求解金属棒进入磁场的速度大小，再根据平衡条件、安培力的计算公式求解．

解答 解：（1）由于导体棒进入磁场时恰好匀速下滑，所以重力势能的减少量等于产生的焦耳热，故有：
mgLsinθ=Q，
根据功能关系可得：E_R=$\frac{1}{2}Q$
解得电阻R增加的内能为：E_R=$\frac{1}{2}$mgLsinθ；
（2）设金属棒进入磁场的速度大小为v，根据动能定理可得：mgLsinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{2gLsinθ}$；
根据法拉第电磁感应定律和闭合电路的欧姆定律可得感应电流大小为：I=$\frac{Bdv}{2R}=\frac{Bd\sqrt{2gLsinθ}}{2R}$，
根据平衡条件可得：BId=mgsinθ，
联立解得：B=$\sqrt{\frac{2mgRsinθ}{{d}^{2}\sqrt{2gLsinθ}}}$．
答：（1）导体棒穿越磁场过程中，电阻R增加的内能为$\frac{1}{2}$mgLsinθ；
（2）匀强磁场磁感应强度大小为$\sqrt{\frac{2mgRsinθ}{{d}^{2}\sqrt{2gLsinθ}}}$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．