Question

12．太阳系的行星，按照离太阳的距离从近到远，它们依次为水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星，其中两颗行星可近似认为绕太阳做匀速圆周运动，第一颗行星和第二颗行星绕太阳的公转周期分别是T₁和T₂，求第一颗行星和第二颗行星绕太阳运行的线速度大小之比．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出周期与轨道半径的关系，以及线速度与轨道半径的关系，通过周期之比求出轨道半径之比，从而得出线速度之比．

解答 解：根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$=$mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，线速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
因为周期之比为T₁：T₂，则轨道半径之比为$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\root{3}{\frac{{{T}_{1}}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}}$，
则线速度之比$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}=\root{3}{\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}}$．
答：第一颗行星和第二颗行星绕太阳运行的线速度大小之比为$\root{3}{\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道线速度、角速度、周期、加速度与轨道半径的关系，并能灵活运用．