Question

17．如图所示，质量m=1kg的小滑块N（可视为质点）放在质量为M=m的长木板M左端，N和M之间的动摩擦因数μ₁=0.5，M和地面之间的动摩擦因数μ₂=0.1；现给小滑块N一个水平向右的初速度v₀=8m/s，小滑块N和长木板M同时到达B点且此时速度大小恰好相等，小滑块到达长木板右端后，能够由C点平滑地滑上固定的光滑圆弧轨道，圆弧轨道半径R=0.3m，重力加速度g=10m/s²，求：

（1）小滑块和长木板间摩擦产生的热；
（2）判断小滑块是否会脱离圆弧轨道，若不会脱离，试证明，若会脱离，求滑块脱离圆弧轨道的点离C点的竖直高度；
（3）当圆弧轨道半径满足什么条件时，小滑块不会推力圆弧轨道．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求得两者的加速度，利用速度时间和位移时间公式求得发生的位移，根据Q=fl求得产生的热量；
（2）根据运动学公式求得到达B点的速度，利用牛顿第二定律求得即可判断；
（3）若小球不能或恰好能到达圆弧轨道的圆心高度，则小球不会脱离轨道或者小球能够通过圆弧轨道的最高点即可判断

解答 解：（1）分别对小滑块和长木板进行受力分析，小滑块做匀减速直线运动，加速度大小${a}_{1}={μ}_{1}g=5m/{s}^{2}$
长木板做匀加速直线运动，加速度大小为：${a}_{2}=\frac{{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（M+m）g}{M}=3m/{s}^{2}$
根据运动公式可知，长木板的长度l=4m
到达B点时，小滑块和长木板的速度大小均为v_C=3m/s
故小滑块和长木板间摩擦产生的热量Q=fl=20J
（2）会脱离；当小球滑上圆弧轨道的初速度v_C=3m/s时，取轨道上D点对小球受力分析，如图，设小球到达图示位置的速度为v，

则${D}_{y}+N=\frac{m{v}^{2}}{R}$
$mg（R+h）=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
当N=0时，小球离开轨道，联立解得h=0.1m
即当小球上升到距离C点的竖直高度为0.4m时，小球脱离轨道；
（3）分两种情况：
①若小球不能或恰好能到达圆弧轨道的圆心高度，则小球不会脱离轨道，即：
$mgh=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$且h≤r，解得r≥0.45m
②小球能够通过圆弧轨道的最高点，即：$2mgr=\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$且$v≥\sqrt{gr}$解得r≤0.18m
即小滑块不会推力圆弧轨道时半径应该满足0≤r≤0.18m或者r≥0.45m
答：（1）小滑块和长木板间摩擦产生的热为20J；
（2）小滑块会脱离圆弧轨道，滑块脱离圆弧轨道的点离C点的竖直高度为0.4m；
（3）当圆弧轨道半径满足0≤r≤0.18m或者r≥0.45m时，小滑块不会推力圆弧轨

点评 本题关键是结合运动学公式和向心力公式判断物体的运动情况，知道小球刚脱离轨道时，由重力的径向分力提供向心力