Question

13．如图所示，竖直放置的U形管左端封闭，右端开口，左管横截面积为右管横截面积的2倍，在左管内用水银封闭一段长为l、温度为T₁的空气柱，左右两管水银面高度差为hcm，外界大气压为h₀ cm Hg．
①若向右管中缓慢注入水银，直至两管水银面相平（原右管中水银没全部进入水平部分），求在右管中注入水银柱的长度h₁（以cm为单位）；
②在两管水银面相平后，缓慢升高气体的温度至空气柱的长度为开始时的长度l，求此时空气柱的温度T′．

Answer 1

分析 （1）以封闭气体为研究对象，先结合连通器的原理求出初末状态的压强，应用玻意耳定律可以求出气体的长度，再由几何关系即可求出；
（2）在液面上升或下降的过程中，水银的体积保持不变；根据题意求出封闭气体的压强，然后应用理想气体的状态方程求出气体的温度．

解答 解：①封闭气体等温变化，初状态：P₁=h₀-h，V₁=lS，末状态：P₂=h₀，V₂=l′•S
由玻意耳定律：P₁V₁=P₂V₂   ①
 在左侧的试管中，液面上升的高度：△h=l-l′
进入左侧试管中的水银的体积：△V=△h•S
所以注入右侧的水银的体积：$△{V}_{0}=（h+△h）•\frac{S}{2}+△V$=$（h+3△h）•\frac{S}{2}$
所以在右管中注入水银柱的长度h₁=$\frac{△{V}_{0}}{\frac{S}{2}}=h+3（l-l′）$   ②
联立①②得：${h}_{1}=\frac{3hl}{{h}_{0}}+h$ 
②空气柱的长度为开始时的长度l时，左管水银面下降回到原来的位置，此时右侧的水银比开始时多出了$\frac{3hl}{{h}_{0}}+h$，所以比左侧高$\frac{3hl}{{h}_{0}}$
空气柱的压强：${P}_{3}={P}_{0}+\frac{3hl}{{h}_{0}}$=${h}_{0}+\frac{3hl}{{h}_{0}}$    ③
由$\frac{{P}_{1}}{T}=\frac{{P}_{3}}{T′}$    ④
联立解得：$T′=\frac{{h}_{0}^{2}+3hl}{{h}_{0}（{h}_{0}-h）}•T$
答：①若向右管中缓慢注入水银，直至两管水银面相平（原右管中水银没全部进入水平部分），在右管中注入水银柱的长度是$\frac{3hl}{{h}_{0}}+h$；
②在两管水银面相平后，缓慢升高气体的温度至空气柱的长度为开始时的长度l，此时空气柱的温度是$\frac{{h}_{0}^{2}+3hl}{{h}_{0}（{h}_{0}-h）}•T$．

点评 根据液体产生的压强的特点求出封闭气体压强，熟练应用玻意耳定律及查理定律即可正确解题；本题的难点是：气体最终状态的压强．