Question

16．如图所示为同一平面内同一圆心的两个圆形轨道，半径分别为R₁=10m，R₂=5m．A、B两小车静止在轨道上，且A、B、O三点在同一直线上，此时A、B相距最近．t=0时刻A、B同时启动，已知它们的速率均匀增加，且每秒均增加0.6m/s，当速率达到v=3m/s后均保持速率不变．求：
（1）A、B加速过程中，B、O连线转过的角度与A、O连线转过的角度之差为多少弧度．
（2）从A、B开始运动到A、B再次相距最近经历的最短时间t．

Answer 1

分析 （1）将两小车的运动类比于匀加速直线运动，计算出加速过程运动的弧长，再分别计算出两车转过的角度，最后求出B、O连线转过的角度与A、O连线转过的角度之差；
（2）先计算出两车运动的角速度，找到两车再次相距最近要满足的条件ω_Bt-ω_At=2nπ（n=1，2，3，4…），计算出再次相距最近的最短时间．

解答 解：（1）A、B两小车的速率均匀增加，且每秒均增加0.6m/s，当速率达到v=3m/s后均保持速率不变
将A、B两小车的运动类比于匀加速直线运动，则加速度a=0.6m/s²，末速度v=3m/s
则加速的时间t₁=$\frac{v-0}{a}$=5s
这段时间运动的弧长l=$x=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=7.5m$
对A车有：${θ}_{A}=\frac{l}{{R}_{1}}=0.75rad$
对B车有：${θ}_{B}=\frac{l}{{R}_{2}}=1.5rad$
故△θ=θ_B-θ_A=0.75rad
（2）A车运动的角速度${ω}_{A}=\frac{{θ}_{A}}{{t}_{1}}=\frac{0.75rad}{5s}=0.15rad/s$
B车运动的角速度${ω}_{B}=\frac{{θ}_{B}}{{t}_{1}}=\frac{1.5rad}{5s}=0.3rad/s$
从A、B开始运动到A、B再次相距最近需满足ω_Bt-ω_At=2nπ（n=1，2，3，4…）
时间最短，即n=1时，ω_Bt-ω_At=2π
解得t=$\frac{40}{3}π\\;s$ s≈41.9s
答：（1）A、B加速过程中，B、O连线转过的角度与A、O连线转过的角度之差为0.75弧度．
（2）从A、B开始运动到A、B再次相距最近经历的最短时间t为41.9s．

点评 本题难度中上，解题关键是先计算出弧长，算出运动转过的角度，最后计算两车角速度，找到要再次相距最近需满足的条件．另外注意各物理量的单位不能错．